ГоловнаЕкономікаМікроекономіка → 
« Попередня Наступна »
Бусигін В.П, Желободько О.В, Циплаков А.А.. Мікроекономіка. Третій рівень, 2005 - перейти до змісту підручника

10.3 Властивості економіки з екстерналіями. Теорема про неефективність


Чи не становить праці переформулювати для економіки з екстерналіями поняття Па-рето-ефективності. За аналогією з класичною моделлю доводиться твердження, що характеризує Парето-оптимальні стану економіки з екстерналіями: дозволене стан (x, y) є Парето-оптимумом тоді і тільки тоді, коли воно є рішенням
наступних m завдань ( io - 1, ..., m):
Uj0 (x, у) ^ max (x> y)
Uj (x, у) ^ йг - Uj (X, у) Vi e I, i - io, x. e X. Vi e I, gj (у, x) ^ 0 Vj e J, - wifc) - Y yjfc Vk e K.
Ie / jeJ
На основі цієї властивості Парето-оптимального стану можна отримати його диференціальну характеристику. Лагранжіан цього завдання для деякого io має вигляд:
L - Y AiUi (x, у) + Pj gj (у, x) + E (53 yjfc - 53 (xifc - wifc))
ie / jeJ keK jeJ ie /
Умови першого порядку для внутрішніх рішень мають вигляд:
V ^ \-us (x, у ), V ^-gj (у, x) nw 7 ПП1А
-xik-se/As + jJ "j j --- 0 (10Л)
Ai-^ + Е + "- 0 Vj, k. (10.2)
О / ji О / j I sr \
-yjfc ie /-yjfc seJ dyjfc
Тут і надалі ми будемо припускати, що існує благо ko, що має такими властивостями:
благо ko не породжує зовнішні впливи, тобто
ko e Ei Vi e I і ko e Ej Vj e J,
в розглянутому стані економіки (O)
-Ui> 0 Vi e I і ^ <0 Vj e J.
dxifco dyjfco
Таке благо може грати роль природної одиниці рахунку для економіки.
Якщо в розглянутому оптимумі Парето існує подібне благо, то, як можна перевірити, виконані умови регулярності теореми Куна-Таккера, і можна вважати, що Ai0 - 1 (для всіх io - 1, ..., m). Це дозволяє виключити з отриманих співвідношень множники Лагранжа і представити диференціальну характеристику в термінах граничних норм заміщення.
З умов першого порядку для блага ko отримаємо
Ai-Ui (x, у) / дж ^ Vi e ^
^ fco w. J
dgj (у, x) / dyjko Vj e J.
Крім того, для споживача io співвідношення dL/-Xi0fc0 - 0 можна записати у вигляді
-uio (x у)
^ fco.
dxiofco
Отже,> 0. (Таким чином, множники Лагранжа Ai і pj все позитивні.) Зробивши підстановку, отримаємо таку диференціальну характеристику Парето-гра-ниці в економіці з екстерналіями:
dUj / dxjfc dUs / dxjfc у ^ dgj / dxifc = 3)
dUi / dxiko dUs / dxsko jJ dgj / dyjko ako,.
dgj / dyjk v dUi / dyjk. v jj - § a ^ Aj + = ^ (104)
З (10.3) зокрема, для кожної пари споживачів, ii і i2, і будь-якого блага до виконано
y ^ dUi / dxilfc у ^ dgj / dxilfc у, dUi/dxi2fc у ^ dgj/dxj2fc 5)
ill dUi / dxiko dgj / djo ^ dUi / dxiko dgj / dyjko '.
Аналогічне співвідношення справедливо для будь-якої пари економічних суб'єктів, споживачів або виробників.
Порівняємо отриману диференціальну характеристику Парето-оптимальних станів
для економіки з екстерналіями з диференціальної характеристикою ринкової рівноваги
(pxy)
в цій економіці (у припущенні, що така рівновага існує). Як і вище, будемо припускати, що існує благо ко, таке що виконані умови (O).
Тут ми робимо звичайне для моделей з екстерналіями припущення, що економічні суб'єкти вважають екстерналії , які на них впливають, фіксованими (екзогенними, величина яких не залежить від їх рішень). Таким чином, економічний суб'єкт максимізує свою цільову функцію тільки по «своїх» змінним.
Так, i-й споживач максимізує корисність зі свого споживчому набору xi. Завдання споживача має вигляд:
Ui (xi, xi, y) ^ max
pxi ^ ei,
xi G Xi '
А j-й виробник максимізує прибуток, вибираючи обсяг виробництва yj, тобто вирішує таку задачу:
py, - ^ max
j yj gj (yj, yj, x) ^ 0 '
Як нескладно показати, ціна блага ко у внутрішньому рівновазі позитивна. Диференціальна характеристика ринкового рівноваги має звичний вигляд:
dUi (x, y) / dxifc pfc
= -, vi GI,
dUi (x, y) / dxifco Pko
dgj (x, y) / dyjfc pfc
=, Vj GJ,
dgj (x, y) / dyjfco Pko
де k - довільне благо.
Звідси випливає, що для будь-якої пари споживачів, il і i2, виконано
(10.6)
du ^ / Txi1fc - Tui2 / Txi2fc duil / dxi1 fc0 dui2 / dxi2 fc0 Порівнюючи диференціальні характеристики рівноваги і Парето оптимуму, ми бачимо, що ліва частина співвідношення (10.6) є одним з доданків лівій частині співвідношення (10.5). Те ж саме можна сказати про праві частини. Із загальних міркувань важко очікувати, що одна з цих співвідношень тягне за собою інше. Цілком може виявитися, що ці дві диференціальні характеристики несумісні. несумісних диференціальних характеристик означала б , що справедливе твердження, протилежне за змістом теоремам добробуту, тобто аналоги теорем добробуту для такої економіки були б невірні.
З іншого боку, складно виявити досить загальні умови, які гарантували б, що диференціальні характеристики ринкового рівноваги і Парето-оптимуму несумісні в економіці з екстерналіями. Це пов'язано з тим, що діяльність будь-якого економіч-ського суб'єкта в загальному випадку може впливати на будь-якого іншого економічного суб'єкта, і структура взаємозв'язків в економіці з екстерналіями може бути занадто складною, щоб дозволити робити однозначні висновки. Мабуть, не можна обійтися без того, щоб припустити деякого роду «регулярне» поведінку похідних по екстерналія. Наступна теорема використовує один з можливих наборів таких припущень (безсумнівно, ці припущення можна було б послабити).
Теорема 108:
Нехай (x, у) - допустиме стан економіки з екстерналіями таке, що x-e int X-Vi, функції корисності та виробничі функції діфференцируєми. Нехай, крім того,
існує благо ko, для якого виконані умови (O);
все екстерналії, пов'язані з обсягом виробництва виробником j * блага k * (yj * fc *), невід'ємні в тому сенсі, що
Tui (x, у)> 0, Vi,
TyjH-fcH.
-gj ( x у)
) ^ 0, Vj - j *,
TyjH-fcH.
причому хоча б одне нерівність суворе;
- споживання хоча б одним споживачем io блага k * (ж-0 & ») не породжує зовнішні впливи, тобто k * e E-0.
Тоді наступні два твердження не можуть бути вірними одночасно:
Існують ціни p і розподіл власності, такі що (p, x, у) - ринкова рівновага цієї економіки.
Стан (x, у) - Парето-оптимум цієї економіки. J
Доказ: Нехай розглядається стан є Парето-оптимальним. Тоді для k - k * і j - j * виконується співвідношення (10.4). Оскільки ми припустили, що екстерналії, пов'язані з yj »fc», позитивні, і, крім того, похідні, пов'язані з благом ko, Tui/Txifc0 і dgj/Tyjfc0 позитивні і негативні відповідно, то сума «екстерналія-них доданків» в лівій частини рівняння (10.4) більше нуля. Це означає, що
-gj * (у, x) / dyj * fc * Крім того, для k = k * і i = io в рівнянні (10.3) за припущенням немає доданків, пов'язаних з екстерналіями, тобто його можна записати у вигляді
dui0 (x, y) / dxj0fc * = Ofc * dui0 (x, y) / dXioko ^ fco
0
Остаточно отримуємо
dgj * (y, x) / dyj * fc * dgj * (y, x) / dyj * fc * = duio (x, y) / dxipfc * d5j * (У, x ) / dy? * fco duio (x, y) / dxioko '
Звідси випливає доказуване твердження про те, що (x, y) не може бути одночасно рівновагою і Парето-оптимумом. |
Зауваження: У даній теоремі ми припустили, що екстерналії позитивні, пов'язані з виробництвом, і існує споживач, споживання яким того ж блага не створює екс-терналій. Всі ці три припущення можна змінити, тобто розглянути негативні екстерналії та / або екстерналії, пов'язані з споживанням, та / або припустити існування виробника, виробництво яким того ж блага не створює екстерналій. Теорема при цьому залишається вірною. Доказ проводиться аналогічно.
Зауваження: Хоча теорема одна, але вона протилежна обом теоремам добробуту. Її можна переформулювати двома способами:
Рівновага в економіці з екстерналіями не може бути Парето-оптимальним.
Парето-оптимум в економіці з екстерналіями не можна реалізувати як ринкова рівновага (ні при яких цінах і розподілі доходів).
неоптимальним рівноваги (p, x, y) в умовах Теореми 108 можна підтвердити також, підібравши Парето-поліпшення - інше допустиме стан економіки , (x, y), яке домінує за Парето стан (x, y). При цьому Парето-поліпшення (x, y) ми можемо підібрати так, що в ньому виробництво позитивних екстерналій yj »fc» строго більше, ніж у розглянутому рівновазі .
Якщо ж все екстерналії пов'язані з деякої змінної yj »fc» негативні, то аналогічним чином можна підібрати Парето-поліпшення так, що в ньому виробництво екстерналій строго менше, ніж у розглянутому рівновазі. Вірні та аналогічні твердження для благ, що викликають екстерналії в споживанні. Доказ цих тверджень ми опускаємо, проілюструвавши їх для конкретних прикладів економік з екстерналіями.
Проілюструємо проведений аналіз окремим випадком економіки з екстерналіями. /?? [Маленво] /
Приклад 44 (/ Маленво / (Загальна рівновага; екстерналії у виробництві)):
Розглянемо економіку з 3 товарами, 1 (репрезентативним) споживачем і 2 виробниками. Виробник j = 1, 2 виробляє тільки j-ий продукт, використовуючи єдиний виробничий фактор - праця. Будемо позначати обсяги виробництва yi і y2, а витрати праці - ai і Й2 відповідно. Будемо припускати також, що технології представіми явними виробничими функціями такого вигляду:
У1 ^ fi (ai, У2), У2 ^ f2 (a2, yi) - тобто випуск кожного блага при тих же витратах праці залежать від випуску іншого блага, що означають мають місце екстерналії.
Уподобання споживача задані функцією корисності і (ж!, ж2, ШЕ), яка залежить від обсягів споживання двох вироблених в даній економіці благ, Х ^ 0 і Х2 ^ 0, і дозвілля Хз ^ 0. Споживач володіє тільки запасом і 3-го блага (часу).
Функція корисності та виробничі функції в діфференцируєми. Крім того, похідні цих функцій скрізь мають «природні» знаки, а саме:
f> 0, /> 0, -> 0, -> 0, -> 0. da2 oal dxl dx2 dx3
Балансові обмеження в розглянутій економіці мають вигляд:
yl = Xl, У2 = Х2, al + Й2 + Хз = і. Парето-оптимальні стану даної економіки,
(Xl, X2, X3, yl, y2, al, a2), повинні бути рішеннями наступного завдання:
u (yl, y2, u - al - a2) ^ max yl ^ / l (al, У2), У2 ^ f2 (a2, yl),
yl ^ 0, У! ^ 0,
al + a2 ^ і.
Завдання, що характеризує Парето-оптимум, тут одна, так як споживач один. Лагранжіан цього завдання має вигляд:
L (yl, y2, al, a2, Pl, P2) =
= і (УьУ2, і - al - a2) + Pl (/ l (al, У2) - yl) + P2 (/ 2 (a2, yl) - У2)
Будемо припускати, що вирішення цього завдання внутрішні. Тоді Парето-оптимальний стан можна охарактеризувати наступними співвідношеннями:
du d / 2 du d / l
Pl + P ^ ^ - = 0, + Pl-P2 = 0 ,
dxl dyl dx2 dy2
du d / l du d / 2
- + Pl ^ = 0, - + P ^ я2 = 0.
Оскільки граничний продукт праці позитивний, можна записати множники Лагранжа
як
du/dx3 du/dx3
Pl = / дог, P2 = d /! 7da!
і отримати наступну характеристику Парето-оптимуму:
du du/dx3 ^ du/dx3 d / 2 ^
dxl d / l / dal d/2/da2 dyl du du/dx3 d / l du/dx3 dx2 d / l / dal dy2 <9/2 / ^ 2.
Або, розділивши на позитивну граничну корисність дозвілля du/dx3,
du / dxi 1 d/2/dyi
du/dx3 d / i / dai df2/da2 'du/dx2 1 dfi/dy2
du/dx3 d/2/da2 dfi / dai'
Тепер охарактеризуємо ринкові рівноваги в даній економіці, при яких всі блага споживаються в позитивних кількостях (внутрішні рівноваги). Нехай
(Pi, P2, P3, Xi, X2, X3, yi, y2, ai , a2) -
рівновагу. Випуск yj і витрати праці aj є рішенням наступної задачі (максимізації прибутку j-го виробника): nj = Pj fj (aj, yj) - P3aj ^ max.
Тому в рівновазі
Uj
1 Pi 1 P2 d / i / dai P3 d/2/da2 P3 '
тобто граничні норми трансформації дорівнюють відносинам цін.
З іншого боку, функція Лагранжа для завдання споживача має вигляд
L = u (xi, Ж2 , Ж3) + А (у - (pixi + P2Х2 + P3X3)).
Дифференцируя її по xi, Х2 і Х3 і спрощуючи отримані умови першого порядку, отримаємо звичайну характеристику споживчого набору (Xi, X2 , X3) - рівність відношення граничних корисностей відношенню цін:
du / dxi pi du/dx2 p2
 du/dx3 p3 du/dx3 p3 '
 Тому в рівновазі
 du / dxi 1 du/dx2 1
 du/dx3 d / i / da ^ du/dx3 d/2/da2 '
 Якщо хоча б одна з похідних d/i/dy2 і d/2/dyi, що характеризують граничний ефект зовнішнього впливу, в стані рівноваги, не дорівнює нулю, то порівнюючи диференціальні характеристики, ми можемо зробити висновок, що рівновага не може бути Парето-опти - ною, і, навпаки, Парето-оптимум неможливо реалізувати як рівновагу.
 Величини / / g / aj, на які відрізняються характеристики рівноваги і Парето-Оптіма-ма, показують (у разі позитивних екстерналій), скільки праці можна «зекономити» при виробництві даного блага при збільшенні на «малу одиницю» виробництва іншого блага. Розраховуючи оптимальний обсяг витрат праці, виробник не враховує цей ефект.
 З зіставлення її з характеристикою рівноваги можна зробити висновок:
 При виконанні умови d / j / dy-j = 0 в стані ринкової рівноваги характеристика рівноваги буде мати такий же вигляд, як і характеристика Парето-оптимального стану. Але оскільки обидві ці характеристики являють необхідні умови, з цього факту не можна укласти без додаткових припущень, що рівновага Парето-оптимально. Стандартний підхід в доказі оптимальності ринкової рівноваги спирається припущення про угнутості виробничих функцій і функції корисності. Однак припущення про угнутості виробничих функцій по «чужий» змінної (екстерналій) представляється довільним і йому не можна дати настільки ж природною інтерпретації, як увігнутості по «своєї» змінної.
 Проілюструємо твердження про неоптимальности виробництва благ в даному прикладі, вказавши в явному вигляді Парето-поліпшення для рівноважного стану. Побудуємо це в диференціалах - малий допустимий зсув
 (Dxl, dx2, dx3, dyl, dy2, dal, da2).
 з точки рівноваги, який би підвищував корисність споживача.
 Щоб шуканий зсув був допустимим, він не повинен порушувати балансові та виробничі обмеження. Відповідні умови отримуємо дифференцированием цих обмежень:
 dyl = dxl, dy2 = dx2, dal + da2 + dx3 = 0,
 л d / l d / l d / o d / o
 dyl = dal + dy2, dy2 = da2 + dyl.
 dal dy2 da2 dyl
 Звідси отримуємо dx3 =-dal - da2 = 1
 d / l / dal (dyl - Юdy2) - d/o7da! (Dy2 - dy? Dyl, Корисність споживача зміниться на величину
 du du du
 du = - (x) dxl + - (x) dx2 + - (x) dx3. dxl dx2 dx3
 Підставами dxfc, виражені через dyj:
 du du
 du = dXl (x) dyl + dX! (x) dyo - du (_)
 dx3 \ d / l / dal
 dyo - d ^ O dyl) | =
1
 d / l, \ 1
 dyl-ТГ "dy? + af / я, dy2 I d/2/da2 1 + dM dyl +

 du / dxl
 du/dx3 d / l / dal 'd/2/da2
  1 + / d ^ i dyo
+
 / Du/dx2
 \ Du/dx3 d/2/da2 'd / l / dal - Враховуючи диференціальну характеристику рівноваги, отримаємо, що
 du / d / o / dyl d / l / dy? \
 du = dX3 (.д / Удо! dyl + / МУГdy2J.
 Якщо хоча б одна з похідних d/l/dy2 і d/2/dyl не дорівнює нулю, то можна підібрати зміни обсягів виробництва dyl і dy2 так, що корисність споживача збільшиться (du> 0). Це означає, що відповідна зміна обсягів виробництва визначає Парето-поліп-шення. Так, якщо, наприклад, d/l/dy2 = 0 (випадок одностороннього зовнішнього впливу), то якщо d/2/dyl> 0 (випадок позитивних зовнішніх впливів), то слід dyl> 0, тобто локальне Парето-поліпшення пов'язано із збільшенням виробництва блага, що викликає позитивні 
 екстерналії в провадженні іншого блага. Це можна інтерпретувати як локально недостатнє виробництво позитивних екстерналій.
 Залишається відкритим питання: чи є виробництво в рівновазі недостатнім порівняно також і з Парето-оптимальним станом економіки, тобто чи вірно yi  Покажемо, що припущення про те, що рівновага внутрішнє, істотно для істинності твердження Теореми 108.
 Нехай у рівновазі Хз = 0. Тоді в рівновазі виконано наступне співвідношення
 du / dxi d/2/da2
 du/dx2 d / i / dai '
 В оптимальному стані
 "," I _ д/2/дУ1
 du / dxi = d / i / dai s/2/s «2
 du/dx2 = i д/1/дУ2 |
 '2 d/2/S «2 d / i / dai
 Ці дві характеристики співпадуть, якщо
 (/ V / = / d/2V d / i
 \ Daij dyi \ da2j dy2 '
 Неважко придумати конкретні функції, для яких дана характеристика буде достатнє умовою Парето-оптимальності, так що рівновага виявиться Парето-оптималь-ним.
 Підкреслимо, що і умова диференційованої функції корисності і виробничих функцій істотні для справедливості Теореми 108.
 Існують також і спростовують приклади з взаємокомпенсації екстерналій, коли частина екстерналій, пов'язаних з деякої змінної, позитивні, а частина - негативні.
 Можлива неефективність ринкової рівноваги в економіці з екстерналіями часто служить обгрунтуванням державного регулювання економіки. Існують два основних способи такого регулювання: пряме - кількісні обмеження на виробництво і споживання благ, що викликають екстерналії, і непряме - оподаткування таких благ. Розглянемо ці способи докладніше.
 « Попередня  Наступна »
 = Перейти до змісту підручника =
 Інформація, релевантна "10.3 Властивості економіки з екстерналіями. Теорема про неефективність"
  1.  11.3 Рівновага з добровільним фінансуванням суспільного блага (рівновага без координації)
      Зауважимо попередньо, що розглядається, однорідних екстерналій відповідає ринкове рівновагу, в якому, як правило, суспільне благо не проводиться, так як в ньому немає механізму відшкодування виробникам суспільних благ їх витрат на таке виробництво. Альтернативна можливість - механізм фінансування суспільного блага на основі добровільних внесків (пожертв)
  2.  глосарій
      Антиблаго (bad) - товар або продукт, що володіє негативною корисністю для споживача. Асиметрія інформації (information asymmetry) - ситуація, в кото рій одна сторона угоди володіє більшою інформацією, ніж інша. Безбілетник (free rider) - поняття, що використовується в економічному аналізі для позначення сторони, яка отримує вигоди від зусиль, що робляться іншою стороною, не сплачуючи
  3.  «Відмови РИНКУ» І ДЕРЖАВА
      Abstulerat totam temerarius institor urbem, Inque suo nullum limine limen erat. Jussisti tenues, Germanice, cresere vicos, Et modo quae fuerat semita, facta via est. Nulla catenatis pila est praecincta lagenis: Nec praetor medio cogitur ire luto. Stringitur in densa nec caeca novacula turba: Ocupat aut totas nigra popina vias. Tonsor, caupo, coquus, lanius sua limina servant. Nunc Roma est, nuper
  4.  Контрольні завдання
      Питання на повторення 1. Коли зовнішні ефекти вимагають державного втручання і коли таке втручання не потрібно? 2. Чи можна вважати ринкову економіку ідеальною формою господарської діяль ності? 3. Чому вільний доступ до благ, що знаходяться в суспільній власності, призводить до неефективних исходам? 4. Чому визнання суб'єкта винним за зовнішні фактори при
  5.  ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК
      А Агенти економічні 17,71, 123, 237 Агрегирование переваг 401 агрегування товарної продукції 102 Аксіоми опуклості 136, 139, 142 виявлених переваг 161 ненасиченими 135, 142 безперервності 135, 141-142 повної впорядкованості 135 порядкового підходу 134 переваг 139, 161 рефлективності 135, 142 порівнянності 135 порівняльне ™ 142 транзитивності 135, 142 Акт добровільний 76
  6.  Словник термінів
      Акомодаційна політика (асоціацію-modating policy) - економічна політика, спрямована на пом'якшення ня наслідків шоків в економіці і ослаблення їх руйнівної сили. Наприклад, політика расшире ня сукупного попиту за рахунок посилення росту цін при збереженні обсягу виробництва на природний ном рівні для нейтралізації несприятливих шоків з боку пропозиції. Акселератор (модель)
  7.  1.3. ХТО І ЯКИМ ЧИНОМ?
      Індивідуальний і громадський вибір здійснюється в визна ленний момент історичного часу, в контексті визначено іншої організації суспільства, структури влади, системи убежде ний і моральних цінностей. Людство виробило безліч способів організації розподілу обмежених ресурсів і результатів виробниц ства між альтернативними цілями та суб'єктами конкурен ції. Якщо відкинути
  8.  Введення
      В даний час багато російські вузи перейшли на двоступеневу систему освіти і пропонують програми підготовки магістрів за спеціальністю «Економічна теорія». Зауважимо, що курс мікроекономіки входить в навчальні програми будь-якої економічної спеціальності, оскільки є базовим і включений в освітній стандарт в якості обов'язкового. Представляється важливим, щоб викладання
  9.  6.1 Характеристика Парето-оптимальних станів в квазілінійних економіках
      Квазілінійного переваг споживачів пояснюється ряд особливих властивостей розглянутої економіки. Зокрема, аналізувати Парето-оптимальні стану в квазилинейной економіці можна за допомогою наступної задачі оптимізації: Е Vi (xi) - Е Cj (yj) ^ max iei jeJ 'Е Xifc <Е yjk Vk = 1, ---, l, ( W) iei jeJ xi ^ 0 Vi? I, у ^ ^ 0 Vj? J Іншими словами, вірна наступна теорема, що дає повне
  10.  10.6 Ринки екстерналій
      У цьому параграфі ми покажемо, що неефективність рівноваги економіки з екстерна-ліямі - наслідок відсутності ринків екстерналій. Іншими словами, якщо на додаток до ринків звичайних благ виникла б повна система ринків екстерналій, для такої економіки була б справедливою перша теорема добробуту, тобто рівновагу в такій економіці виявилося б Парето-оптимальним. Цей погляд на
енциклопедія  асорті  печінка  майонез  запіканка