ГоловнаЕкономікаМікроекономіка → 
« Попередня Наступна »
Бусигін В.П, Желободько О.В, Циплаков А.А.. Мікроекономіка. Третій рівень, 2005 - перейти до змісту підручника

10.5 Рівновага з податками на екстерналії


Надалі будемо розглядати лише податки з одиниці екстерналії, виражені в грошах. Позначимо через Pi безліч благ k, споживання яких i-м споживачем обкладається податками. Аналогічно через Pj позначимо безліч благ k, виробництво яких j-м виробником обкладається податками.
Нехай tik - ставка податку на споживання блага k споживачем i. Тоді завдання i-го споживача модифікується в такий спосіб:
ui (xi, xi, y) ^ max xi
Y Pk Xik + Y (Pk + tifc) Xifc ^ ei, (10.9)
fceP; kePi
xi G Xi.
Умови першого порядку для внутрішнього рішення xi даної задачі мають вигляд
dui (xi, xi, y)
dXik
dui (xi, xi, y)
dXik
= ViPk, Vk G Pi, (10.10)
= Vi (pk + tik), Vk G Pi, (10.11)
де Vi - множник Лагранжа, відповідний бюджетному обмеженню.
Відповідно якщо tjk - ставка податку на виробництво блага k виробником j, то завдання виробника j має вигляд:
Е Pk yjk + Е (Pk - tjk) yjk ^ max (10.12)
k / Pj kePj yj
g (yj, yj, x) ^ 0. (10.13)
Умови першого порядку для вирішення У, даної задачі мають вигляд dg (yj, У-j, x) jjj
+ pk = 0, VkGPj, (10.14) dg (yj, У-j, x) 'dyjk
к
+ pk - tjk = 0, Vk G Pj, (10.15) де к, - множник Лагранжа, відповідний технологічному обмеженню.
Введемо позначення для ставок усіх податків, існуючих в економіці, t / = {tik | k G Pi} і t J = j tjk k G Pj j, і розглянемо загальну рівновагу з такими податками.
Визначення 71:
Назвемо (p, x, y) рівновагою з податками (t /, {Pi} i, tj, {Pj} j) і трансфертами S економіки з екстерналіями, якщо
O xi - рішення задачі споживача (10.9) при цінах p, доходи
ei = pai + Yijpy, + Si, jeJ
податки, що визначаються t /, Pi, та обсягах споживання і виробництва інших економічних суб'єктів xi, y.
Про у, - рішення задачі виробника (10.12) при цінах p, податки, що визначаються tj, Pj та обсяги виробництва і споживання інших економічних суб'єктів y, x.
О (x, y) - допустиме стан, тобто
- Wifc) = Y j Vk. ie / jeJ
Про сума податків дорівнює сумі трансфертів
^ ifcxik + Е Е j = Е Si.
Ie / fcePi je J fceP, ie /
Наведене нижче твердження являє собою аналог другого теореми добробуту для рівноваги з податками на екстерналії. Воно стверджує, що (при деяких природних умовах) для Парето-оптимального стану цієї економіки можна знайти ціни благ і податки такі, що дане Парето-оптимальний стан виявиться рівновагою з податками.
Теорема 110:
Нехай (x, y) - Парето-оптимальний стан економіки з екстерналіями з Xi = R +. Припустимо також, що
xik> 0 Vi Vk? Ei;
функції корисності Ui (x, y) і виробничі функції gj (y, x) діфференцируєми;
існує благо ko, для якого виконані умови (O) ;
функції Ui (x, y) увігнуті по xi; функції gj (y, x) увігнуті по змінним yj. Тоді існують ціни p, безлічі оподатковуваних благ Pi і Pj, податки t /, tj, і
трансферти S, такі що (p, x, y) є рівновагою з податками. При цьому безлічі оподатковуваних благ можна вибрати так, що Pi = Ei і Pj = Ej. J
Доказ: Обмежимося також схемою докази. Як ціни k-го блага pk можна взяти множник Лагранжа Ok для балансового обмеження. В якості множин Pi і Pj оподатковуваних податками благ виберемо будь-яку безліч благ, що містять всі блага з Ei і Ej відповідно. В якості ставки податку tik, k? Pi виберемо
tfc = - ^ Л du * (xy) _ ^ p% (y, x)
s = i dXik jeJ dXik
де Л * і pj - множники Лагранжа для задачі, що характеризує розглянутий оптимум Парето. Ставка податку для блага, що не належить P *, приймається рівною нулю. Далі доводиться, що xi є рішенням задачі (10.9) при
^ i = Pxi + ^] tikxik,
kePi
xi = xi, y = y, даних цінах і введених податках. Дійсно, точка xi є допустимою в цьому завданні. Оскільки завдання кожного споживача є опуклою, то для доказу цього факту досить встановити, що при цьому виконуються умови першого порядку. Умови першого порядку Парето-оптимуму можна переписати таким чином:
Лdu ^ M) = Pk + tik, Vk? Pi, dxik
dui (x, y) Лi-^ = Pk, Vk? Pi.
Dxik
Але це і є умови першого порядку в задачі споживача при v, рівному ^.
Аналогічно в якості ставки податку tjk, k G Pj виберемо
, _ v-4 \ дui (X, y) v ^ dgs (y, x)
ie / dyjk s = j dyjk
а ставку податку для блага, що не належить Ps, приймемо рівною нулю. Далі доводиться, що у, є рішенням задачі (10.8) при даних цінах і x = x і y-, = y-,.
Для доведення теореми залишилося вказати величини трансфертів S. Легко бачити, що необхідними трансфертами є величини
Si = pxi + tik Xik - (pa i + Y Yij (py, - E tjk yjk)).
KePi je J ke Pj
Їх сума дорівнює, як і потрібно, величиною
tikXik + Е Е tjk2/jk,
i / k Pi j J k Pj
і з урахуванням цих трансфертів доходи споживачів дорівнюють
^ i = pxi + ^] tikXik ,
k Pi
тобто рівно стільки, скільки необхідно для покупки набору xi. |
Зауваження: Ставка податку може виявитися величиною негативною. Це, зокрема, буде мати місце коли споживання (виробництво) даного блага викликає тільки позитивні екстерналії. Змістовно це означає, що споживачеві (виробнику) виплачується дотації за відповідною ставкою.
Зауваження: Теорема вірна і без умови дифференцируемости. При цьому умова (O) замінюється на припущення про локальну ненасищаемості.
У наступному затвердження описані умови, при яких рівноваги з податками Парето-оптимальні. Таким чином, це твердження являє собою варіант першої теореми добробуту для такої економіки. Умови оптимальності рівноваги з податками, (x, y), мають вигляд наступного правила Пігу:
tik dus (x, y) / dXik, dgj (y, x) / dXik
+> ~, Vi, Vk G Pi,
Pko s = dus (x, y) / dXsko jeJ dgj (У, x) / dyjko:
tjk = - y, dui (x, y) / dyjk + y-dgs (y, x) / dyjk Vj Vk G P. (T)
Pko ie / dui (x, y) / dXiko s = j dgs (y, x) / dysko,, j.
Якщо рівновага з податками на екстерналії Парето-оптимально і задовольняє правилу Пігу, то відповідні податки називають податками Пігу.
Теорема 111:
Припустимо, що (p, x, y) - рівновага з податками (t /, {Pi} i, tj, {Pj} j ) і трансфертами S економіки з екстерналіями і, крім того,
xi G int Xi (рівновага внутрішнє)
всі блага, які породжують екстерналії, обкладаються податками, т. е . Ei З Pi і E, З Pj.
Функції корисності та виробничі функції діфференцируєми;
існує благо ko, для якого виконані умови (O). Тоді,
якщо функції корисності та виробничі функції увігнуті, то щоб це рівновагу з податками було Парето-оптимальним, досить, щоб податки задовольняли правилом Пігу (T);
якщо рівновагу з податками Парето-оптимально, і для кожного блага k існує хоча б один споживач i (або виробник j), для якого споживання (або виробництво) даного блага не оподатковується, тобто k? Pi (k? Pj), то податки повинні задовольняти правилу Пігу (T). J
Доказ: (i) Нам потрібно показати, що знайдуться числа {Л ^, {pj} j, {ok} k, Лi ^ 0, pj ^ 0, такі що для них виконані співвідношення (10.1) - (10.2) (диференціальна характеристика Парето-оптимуму економіки з екстерналіями). По зворотної теоремі Куна-Таккера при во-гнутость функцій корисності і виробничих функцій виконання цих співвідношень - достатня умова максимуму для кожної з задач, що характеризують Парето-оптимальні стану економіки з екстерналіями.
Скористаємося диференціальної характеристикою рівноваги з податками (10.10) - (10.11) і (10.14) - (10.15). Множники Лагранжа виберемо таким чином:
Ai = 1/vi, Pj = Kj, ok = pk.
Оскільки за припущенням всі блага, що не обкладаються податками, тобто k? Pi і k? Pj, не породжують екстерналій, то диференціальні характеристики Парето-оптимуму для них мають вигляд:
л dui dg7-
Л ^ - = Ok, Vi, pj-+ Ok = 0, Vj.
Dxik cj
Легко перевірити, що вони виконані при виконанні співвідношень (10.10) і (10.14). Крім того, з (10.10) і (10.14) при k = ko маємо
Л = - = pk0> 0,
i Vi dui / dxiko,
Pj = до ^ = _я Pko> 0,
звідки отримуємо наступні вирази для податків, зазначених в умові теореми:
dus ^ dgj
tik = _ 5Л * jPj dxik '
, _ ^, dui v ^ dgs
tjk = _ Mj, ps
ie / dyjk dyjk
Підставляючи їх в диференціальні характеристики рівноваги з податками (10.11) і (10.15), переконуємося в тому, що диференціальні характеристики Парето-оптимуму (10.1) - (10.2) виконані.
(Ii) Для будь-якого k = ko існує економічний суб'єкт, споживання (виробництво) яким цього блага не обкладається податком. Припустимо, наприклад, що це споживач i. (Для випадку, якщо таким економічним суб'єктом є виробник, міркування аналогічні, що читачеві пропонується перевірити самостійно.) З умов першого порядку завдання споживача i випливає, що
dui / dxik = _pk dui / dxiko Pko.
З іншого боку, споживання цим споживачем благ k і ko не породжує екстерналій і тому з диференціальної характеристики Парето-оптимуму випливає, що
dui / dxik = Ok dui / dxiko Oko '
Це означає, що pk / Pko = Ok / Oko, тобто множники Лагранжа пропорційні цінами.
Для довільного споживача i і блага k, споживання якого даними споживачем оподатковується (k? Pi), маємо з умови першого порядку завдання споживача
dui / dxik = pk + tik dui / dxiko Pko '
З іншого боку, з диференціальної характеристики Парето-оптимуму випливає, що
dui / dxik + у ^ dus / dxik у ^ dgj / dxik = Ok
dui / dxiko dus / dxsko dgj / dyjko ° ko '
Виробляючи відповідні заміни, отримаємо необхідний результат:
tik = dus / dxik + y ^ dgj / dxik
pko dus / dxsko jeJ dgj / dyjko.
Аналогічно, для довільного виробника j і блага k, виробництво якого даним виробником оподатковується (k? Pj), маємо
dgj / dyjk = Pk _ tjk
dgj / dyjko pko.
и
Dgj / dyjk + y ^ dui / dyjk y-^ dgs / dyjk = __ Ok
dgj / dj ie / dui / dxiko S = j dgs / dysko Oko,
звідки випливає, що
j = _ y. dui / dyjk + y-/ dyjk Vj Vk? P
pko ie / dui / dxiko s = j dgs / dysko,, j.
Зауваження: Хоча за умовами теореми безліч благ, споживання (виробництво) яких оподатковується, не зобов'язана збігатися з безліччю благ, що породжують екстерналії, ставки податку на блага, що не породжують екстерналії (блага з множин Pi \ E і Pj \ Ej) виявляються рівними нулю. З цього, фактично, випливає, що множини оподатковуваних благ повинні включати блага, які породжують екстерналії, і тільки їх.
Зауваження: Припущення про те, що для кожного блага k існує хоча б один споживач i (або виробник j), для якого споживання (або виробництво) даного блага не оподатковується, тобто k ? Pi (k? Pj) фактично виявляється необхідним для справедливості другої частини теореми. У ситуаціях, коли воно не виконується, поведінка споживача i, а отже і рівновагу, не залежать від того, яку частину ціни pk + tik, з якою він стикається, даний споживач виплачує в якості податку, а яку - в якості ринкової ціни.
Приклад 45 ((продовження Прімера 44)):
Введемо в економіку Прімера 44 ti і t2 - податки на випуски 1-го і 2-го підприємства відповідно. Охарактеризуємо внутрішні рівноваги з податками. Нехай
(Pi, P2, P3, Xi, X2, X3, yi, y2, ai, a2, ti, t2) -
така рівновага. Завдання максимізації прибутку j-го виробника має наступний вигляд:
nj = (Pj - tj) fj (aj, yj) - P3aj ^ max.
Aj
Диференціюючи по a,, отримуємо умови першого порядку для вирішення цього завдання:
1 Pi - ti 1 P2 - t2
= і =,
d / i / dai P3 d/2/da2 P3
тобто граничні норми трансформації дорівнюють відносинам цін, з якими стикається виробник, тобто цін з урахуванням податків.
Вид умов першого порядку завдання споживача не зміниться, так як споживач не обкладається податком
du / dXi Pi du/dX2 P2 du/dX3 P3 du/dX3 P3 '
З отриманої диференціальної характеристики рівноваги маємо такі співвідношення:
du / dXi 1 ti
du/dX3 d / i / dai P3 '
du/dX2 1 + t2
du/dX3 d/2/da2 P3. Для того, щоб рівновага була Парето-оптимальним, необхідно, щоб
du / dXi 1 d/2/dyi
du/dX3 d / i / dai d / 2/da2 '
 du/dX2 = 1 d/i/dy2 du/dX3 d/2/da2 d / i / dai '
 тобто
 ti = _ d/2/dyi = _ d/i/dy2
 P3 d/2/da2, P3 d / i / dai. Зауважимо, що якщо переваги споживача випуклі, то такі ставки податків гарантують Парето-оптимальність рівноваги з податками. Д
 « Попередня  Наступна »
 = Перейти до змісту підручника =
 Інформація, релевантна "10.5 Рівновага з податками на екстерналії"
  1.  глосарій
      Антиблаго (bad) - товар або продукт, що володіє негативною корисністю для споживача. Асиметрія інформації (information asymmetry) - ситуація, в кото рій одна сторона угоди володіє більшою інформацією, ніж інша. Безбілетник (free rider) - поняття, що використовується в економічному аналізі для позначення сторони, яка отримує вигоди від зусиль, що робляться іншою стороною, не сплачуючи
  2.  «Відмови РИНКУ» І ДЕРЖАВА
      Abstulerat totam temerarius institor urbem, Inque suo nullum limine limen erat. Jussisti tenues, Germanice, cresere vicos, Et modo quae fuerat semita, facta via est. Nulla catenatis pila est praecincta lagenis: Nec praetor medio cogitur ire luto. Stringitur in densa nec caeca novacula turba: Ocupat aut totas nigra popina vias. Tonsor, caupo, coquus, lanius sua limina servant. Nunc Roma est, nuper
  3.  8.3. Основні моделі економічного зростання
      В економічній теорії розрізняють два типи моделей економічного зростання: чи не оклассіческіе і неокейнсианские. Основною ідеєю неокласичного напряму є оптимальність ринкової системи, що розглядається як досконалий саморегулюючий ся механізм, що дозволяє найкращим чином використовувати всі фактори виробництва не тільки окремому суб'єкту економіки, а й економіці в цілому. Американці
  4.  Питання для повторення
      Що таке ефект зворотного зв'язку? Яка його роль в ринковій економіці? Які достоїнства і недоліки моделі ринкового соціалізму? 3 Яким чином учасники обміну двох товарів в моделі Еджуорта досягають Парето-ефективного розподілу? Покажіть, як дія конкурентних ринків товарів X і Y дозволяє одночасно досягти і ефективного розміщення ресурсів, та ефективного розподілу
  5.  13.2. Зовнішні ефекти. Теорема Коуза
      Зовнішні ефекти, екстерналії (externali-Вненшіе ефекти j _ це витрати або вигоди від ринкових угод, які не отримали відображення в цінах. Вони називаються "зовнішніми", оскільки стосуються не тільки беруть участь у даній операції економічних агентів, але і третіх осіб. Виникають вони в результаті як виробництва, так і споживання товарів і послуг. Зовнішні ефекти поділяються на негативні і позитивні
  6.  Питання для повторення
      Прокоментуйте визначення трансакційних витрат, дане С. Ченом: "У самому широкому сенсі слова трансакційні витрати складаються з тих витрат, існування яких неможливо уявити в економіці Робінзона Крузо" (Cheung S. The Myth of Social Cost. L., 1978. P. 52 ). Які специфічні види трансакційних витрат існували в соціалістичних країнах? Чи ведуть ринкові реформи в
  7.  Введення
      В даний час багато російські вузи перейшли на двоступеневу систему освіти і пропонують програми підготовки магістрів за спеціальністю «Економічна теорія». Зауважимо, що курс мікроекономіки входить в навчальні програми будь-якої економічної спеціальності, оскільки є базовим і включений в освітній стандарт в якості обов'язкового. Представляється важливим, щоб викладання
  8.  Податки
      Як буде показано в розділі про екстерналія, один з логічно можливих способів кор-рекции роботи ринкового механізму в ситуації з екстерналіями - різного роду податки. Податки використовуються також і для фінансування суспільних благ в тому випадку, коли такі блага надає держава. Проте, за винятком ідеалізованих ситуацій, такі способи корекції фіаско ринку також приводять в
  9.  10.5.1 Завдання
      ^ 469. У квазилинейной економіці з екстерналіями функції корисності двох споживачів мають вид ui = 2 ^ X7 + Zi і u2 = 2 ^ X2 - Xi + Z2, а функція витрат єдиного підприємства має вигляд c (y) = y. Початкові запаси першого блага (блага X) дорівнюють нулю. Охарактеризуйте Парето-оптимальні стану даної економіки. Знайдіть рівновагу і податки Пігу. ^ 470. У квазилинейной економіці з екстерналіями
  10.  10.6 Ринки екстерналій
      У цьому параграфі ми покажемо, що неефективність рівноваги економіки з екстерна-ліямі - наслідок відсутності ринків екстерналій. Іншими словами, якщо на додаток до ринків звичайних благ виникла б повна система ринків екстерналій, для такої економіки була б справедливою перша теорема добробуту, тобто рівновагу в такій економіці виявилося б Парето-оптимальним. Цей погляд на
енциклопедія  асорті  печінка  майонез  запіканка