Головна |
« Попередня | Наступна » | |
1.2.Основние положення економіки добробуту |
||
Введемо в розгляд безліч (фізично) допустимих станів Р (щ ^): = {(х, у) I Е X < Е у +, Xi> 0, yj е Yj} iel jeJ Тут і далі під (х, у) розуміється (xI, ..., хі; yi, ..., ym). ш ^ позначає загальні початкові запаси благ в економіці. ^ Визначення 9. Кажуть, що допустиме стан економіки {ж, у} суворого / \ домінує (по Парето) стан {х, у}, якщо х / У / Л ', для будь-якого споживача i. ; ^ Визначення 10. Кажуть, що точка {ж, у} належить Слабкою кордоні / ^ Парето (WP), якщо не існує строго домінуючою її допустимої точки, / \ тобто / Х WP = {(x, у) е 2XG?) I $ (х, у) е © (зі ^): д * xt Vie /}; ^ Визначення 11. Кажуть, що допустиме стан економіки {jci, ..., х "; yi, / \ ..., ут} Домінує (по Парето) інше допустиме стан {дсь ..., х"; у \, ..., / \ ут}, якщо л ', У / Xi для будь-якого споживача i й існує /' про таку, що л '/;, yk л-, -, .. ^ ^ Визначення 12. Допустиму точку {jci, ..., х "; у \, ..., ут) називають Парето-/ ^ оптимальний стан економіки, якщо не існує домінуючої її / \ інший допустимої точки. Безліч Парето-оптимальних станів називають / J (сильної) кордоном Парето (V):. ^ V = {(x, у) е Viaf) \ $ (х, у) е ДЗГ ^): ж, ^ xt Vie /, 3 i0e I: xk У x! O} . ;? 2) Якщо уподобання кожного учасника полустрого монотонні і неперервні, то всі крапки сильної кордону Парето, компоненти яких строго позитивні, також належать і слабкою кордоні Парето. Доказ ': Очевидно, що за визначенням кордону Парето V і слабкою кордону Парето WV маємо включення V з WV. Таким чином нам залишається показати, що WV з V. Нехай це не так, тобто існує допустимий розподіл (х, у) е WP і (х, У) Й V. За визначенням кордону Парето існує інше допустиме розподіл (с, у) такий, що С У х i V iel і 3 i0el х1о У х го. Зауважимо, що х1о Ф 0, т. е існує до такої, що Cciok> 0. (По властивості суворої монотонності не існує z е К! Такого, що 0 У z.) Нехай e - вектор, де на місці до коштує 1, а на інших місцях 0. Розглянемо тепер перерозподіл ХМВ (п) = ХМВ - ne Xi (n) = Xi A n (n -1) e V i Ф / о По властивості суворої монотонності, маємо х (п) У i х (п) Vi Ф i0 Vn, відзначимо, що *. * По властивості безперервності переваг знайдеться таке n таке, що Х ^ П) УДО ХМВ. Таким чином, ми знайшли допустиме розподіл (х, у) яке суворо домінує допустиме розподіл (х, У), чого бути не може, так (х, У) належить слабкою кордоні Парето. Доказ цього твердження залишається як вправа. Затвердження 8. (Перша теорема добробуту) вальрасовская рівновагу (У, у, р) завжди належить слабкою кордоні Парето (х, у) eWP. Вальрасовская рівновагу (У, у, р) за умови локальної ненасищаемості переваг завжди належить сильної кордоні Парето: (У, у) е V. Доказ: Ця частина теореми доводиться за аналогією з 2-й частиною і залишається як вправа. Припустимо, що (У, у) Й V. Тоді існує допустимий стан економіки (х, у), таке що Уi У xVi й існує споживач i0, такий що х1о У хг-о. Оскільки ХМВ УДО хг-о, то рхго > рхк, оскільки У - рішення задачі споживача, чого не могло б бути, якби набір ХМВ був допустимим. Покажемо тепер, що з a: i) хiVi випливає, що pУi ^ рх. Нехай це не так і для деякого споживача iрхс1 < рхi. Існує досить мала околиця точки di, для точок якої все ще виконано рх1 < рхi. За локальної ненасищаемості-сти в цій околиці існує набір Х;, такий що Х; Х;. Це суперечить тому, що Xi-оптимум в задачі споживача. Підсумуємо отримані нерівності по всіх г: Z iPXi> Z iPXi. Оскільки У максимізує прибуток на Yj, то ру ^ ру j. Підсумуємо ці нерівності по всіх j: Z iPy j> Zj ру j. При локальної ненасищаемості виконаний закон Вальраса (бюджетне обмеження виходить на рівність). Так як Х; - рішення задачі споживача, то: pXI = рт A ZJ Yij ру j. Підсумувавши по всім споживачам, отримаємо ZI рх; = ZI (РТ-+ ZJ YIJ РУ J) = ZI РТ-+ ZJ (ZI УУ) РУ J = = Z i рт AZ j ру j. В результаті отримаємо ланцюжок співвідношень Z i рХ-> Z i РХ; = Z i рт + Z j ру j ^ Z i рт AZJ ру J. З іншого боку, стан (X, у) допустимо і виконані матеріальні ба-Ланса: Z i Xi Домножимо на (невід'ємні) ціни, отримаємо Z i рХ- Затвердження 9. (Друга теорема добробуту) Нехай переваги споживачів випуклі, безупинні і локально ненаси-щаеми, технологічні безлічі кожного виробника випуклі і принаймні одне задовольняє властивості свободи витрачання. Тоді якщо (Х, j)) - оптимальне за Парето стан і Х;> Про V /, то існують ціни р, такі що (X, у, р) є рівновагою Вальраса при деякому розподілі власності т і у, -. Доказ: Введемо ряд позначень які нам знадобляться надалі для доказу цього твердження. Позначимо безліч кращих ніж Х; точок (для споживача г) через L + i (? I) = {х; ^ О | Xi У i Xi} . Оскільки переваги споживачів випуклі, то, як нескладно показати, / Hj (jci) також опуклі й, значить, їх сума / + + (Х) = Z i L + i (Xi) = {Z i Xi | Xi> О, Xi У i Xi} опукла. Крім того, / ^ (Xj-) Непорожнє по локальній ненасищаемості, значить і / + + (Х) непорожньо. Безліч YZ + = Ej Yj A = {Е, - у + I у je Yj}. теж є опуклим чинності опуклості технологічних множин і непустою, так як йому належить точка? - У-A ш ^. / + + (Х) N (YZ + ш ^) = 0. Припустимо, що існує спільна точка ze / + + (X) і ze Y ^ A ш ^. Це означало б, що існує стан економіки (х, у), таке що xi е Xi, xi У I Xi "Vi, у-e Yj V , E t xi = z і? - у-+ ш ^ = z. Тим самим ми знайшли б допустиме стан економіки, яке домінує оптимальне за Парето стан (X, j)), чого бути не може. Оскільки безлічі / + + (Х) і Y ^ A ш ^ випуклі, Непорожнє і не перетинаються, до ним застосовна теорема про отделимости. Тому існує вектор peL ', р Ф 0 і число re L, такі що pz ^ r, якщо ze / + + (Х) и pz З локальної ненасищаемості У t випливає, що для будь-якого натурального числа п в околиці xi існує набір х ", такий, що х" У xi і x "e 1i /" (xi), де 1i / "(xi) - куля з центром xi і радіусом 1 / п. Зауважимо, що послідовність х "сходиться до xi. Оскільки х" У xi У Xi, то р? "Х" ^ r. Переходячи до межі по п, маємо р? t xi ^ r. Покажемо, що р ^ 0. Нехай це не так, і існує благо до, таке що ^ <0. Розглянемо деякий вектор Z e Y ^ A ш ^. Існують У-e Yтакіе що? - У-= Z. За умовою теореми існує підприємство ji, технологічне безліч якого характеризується свободою витрачання. Для цього підприємства у, - tek e Yгде ek - к-й одиничний орт, t - позитивне число. Тому У - tek e Y ^ A ш ^. Для У виконано ру - k 1Г це суперечить тому, що z - te e A ш ^. Оскільки Xi) Xi Vi (по рефлексивності відносини переваги), то р? t Xi ^ r. З іншого боку, так як? j у A ш ^ e Y ^ A ш ^, то р? j у A р ш ^ р? t Xi < р? - У A рш ^. Отримаємо ланцюжок нерівностей r < р? г Xi < р? - У-A рш ^ Візьмемо р в якості цін рівноваги і покажемо, що (X, у, р) є рівновагою. Покажемо спочатку, що при цих цінах прибуток кожного підприємства jo максимальна в точці у. Нехай уо e Yjo. Тоді уо A?-Ф-о у-A ш ^ eY ^ A ш ^ і виконано р Су про A? МОУ-A ше) < р (?-У - A ше) = r. Звідси Руо < ру. Тепер покажемо, що при цінах р корисність кожного споживача io максимальна в точці ХМВ. Нехай ХМВ e Xio і ХМВ УДО ХМВ. Покажемо, що цей кращий набір коштує дорожче, ніж ХМВ в цінах р. Так як (Х1, ..., ХМВ, ..., Хп) не гірше для кожного споживача, ніж X, то рХго A р? гфго Xj> r = р? г XJ. Тому рхго ^ рХго. Нам потрібно показати, що нерівність тут суворе. Припустимо, що рхго = рХго. Оскільки ХМВ > 0 і р ^ Ф0, то існує припустимий набір х. , Такий що рх. < РХго = рХго (наприклад, х = ахго, 0 < а <1). Розглянемо опуклі комбінації ах. A (1-а) ХМВ, ae [0,1]. За безперервності переваг знайдеться достатньо мале позитивне а, таке що / / / X = ах.о A (1-а) ХМВ Уго ХМВ. / / Набір споживчих наборів (Я-..., х., ..., Хп) не гірше для кожного спожи / / / теля, ніж X, звідки рх h A р? гФго Xj-^ r = р? гXi. Але, з іншого боку, РХ. < РХго. Отримали протиріччя. Значить, рхго > рХго. Таким чином, ми довели, що (X, у, р) є рівновагою Вальраса. В якості розподілу власності можна взяти, наприклад, рХг рХг w. Ш =? х ше й Уг? =? х V7. р / - ^ х ^ р / - ^ х ^ Зауваження: Відзначимо, що твердження теореми залишається справедливим, якщо за-нити свободу витрачання для технологічного безлічі деякого вироб-водія на монотонність переваг деякого споживача. Нехай переваги індивідуума задаються безперервними функціями корисності. Зіставимо кожному індивідууму таке невід'ємне число а ^ таке, що Za = 1. Введемо в розгляд функцію ua (x) = ZaЙ (Х ;) Розглянемо тепер сле- iel iel дме екстремальну задачу: Задача пошуку оптимуму Парето. ua (x) ^ max Z Xi уi е Y х ^ О. Затвердження 10. Якщо (X, у) - рішення задачі (*), то (X, у) е WV, а якщо, крім того, а;> 0, то (X, у) е V . Нехай функції корисності і; (.) Безупинні і увігнуті, технологічні безлічі Yj випуклі. Тоді якщо (X, у) е WV, то знайдуться такі невід'ємні a (Za; = 1), що (X, у) буде рішенням завдання (*). IeI Доказ: Нехай (X, у) - рішення задачі (*) і (X, у) й WV . Тоді знайдеться таке допустиме стан (У, У) е © (ю ^) (відзначимо, що © (ю ^) є допустима безліч для задачі (*)), що й; (У ;)> u (Xi) V г ' е /. За визначенням функції ua (.) Маємо, що ua (X)> ua (X). Таким чином, отримали протиріччя з тим, що (X, у) - рішення задачі (*). Доказ для випадку а;> 0 повністю аналогічно. Нехай (X, у) е WV. Введемо позначення і (х) = (ui (xi), ..., un (xn)) '. Введемо в розгляд наступне безліч: 2 = {% еМ "| 3 (Х, у) е © (ю ^): V < і (х)}. Безліч 2 непорожньо, так як і (Х) е 2. Покажемо, що 2 - опукле безліч. Нехай V е 2 і V "е 2. Це означає, що існують допустимі стану економіки (Х ', у') е © (ю ^) і (Х ", у") е © (ю ^), такі що V < і (х ') і V' < і (х''). Покажемо, що Р% A (1-P) V'е 2, де ре (0,1). Нескладно показати, що (рх 'A (1-Р) Х'', р / A (1-р) у'') е © (ю ^). Так як u; (.) - Увігнуті функції, то і (рх 'A (1-р) х'')> ри (х') A (1-Р) і (х ">. Це означає, що pv 'A (1-p) V < і (рх' A (1-р) х''), тобто PV A (1-p) V'е 2. Безліч і (Х) A М + + = {% е М "| V;> ui (jci) V / } також є непустою і опуклим. По теоремі про отделимости існує розділяє ці дві множини гіперплоскость, тобто існують вектор ае К ", аФ0 і число 3, такі що av <3 при v е U і av> 3 при v е і (х) + К + +. Покажемо, що а > 0. Припустимо, що існує i, для якого аг <0. Тоді якщо v е і (х) + К + +, то v + te1 е і (х) + К + +, де t - позитивне число, е1 - i-й орт. Ми завжди можемо підібрати досить велика t, щоб виконувалася a (v + te1) <3. Але це суперечить тому, що v + te1 е і (х) + К + + . Розглянемо послідовність vn = і (х) + 1 / п 1, де 1 - вектор, що складається з одиниць. Оскільки vn е і (х) + M + + Vn, то avn> 3 . Переходячи до межі, отримаємо a і (х)> 3. З іншого боку, і (х) е U і a і (х) <3, тобто a і (х) = 3. Візьмемо як а вектор a / Zai. Не існує пари (х, у) е © (ю ^), такий що ^ аiUi (xi)> ^ аiUi (Xi) . Дійсно, для будь-якої пари (х, у) е © (ю ^) виконано і (х) е U, звідки "$ (Х) <3 = au (x). Розділивши цю нерівність на Zai, отримаємо АІ (х) < ай (х). Це означає, що (х, у) є рішенням задачі (*). | Зручним інструментом для ілюстрації введених понять є «ящик Еджворта». Ящик Еджворта - це діаграма, яка дозволяє наочно уявити економіку з 2 споживачами, 2 благами, в якій безлічі допустимих споживчих наборів мають вигляд х ^ 0 і хг ^ 0. На цій діаграмі споживання 1 лютому го учасника (х1, х1) представляється у звичайній системі координат, а споживання 1 2 1 2 го учасника (х2, х2) - у перевернутої з центром в точці (ю ^, ю ^), якщо дивитися з системи координат 1-го учасника. Якщо баланси по благам в розглянутій точці х виконані, то точка (х1, х1) в першій системі координат співпаде з точкою (х2, х2) у другій системі координат, що дозволяє зобразити х однією точкою на даній діаграмі. Щоб можна було уявити собі структуру рівноваги, зручно скористатися графіками кривих байдужості і множин кращих точок учасників. Нагадаємо, що крива байдужості i-го учасника, відповідна точці х. є безліч +11 (х1) = {х1 ^ 0 | и1 (х1) = uI (XI)}. Безліч точок, не гірших, ніж точка Xi, є безліч L [(xi) = {х1 ^ 0 | и1 (х1) ^ и1 (Х1)}. У термінах цих кривих точка х є Парето-оптимум розглянутої економіки, якщо не існує допустимої точки х, такий що х1е /} (х i), хге / ^ хг) і виконано по принаймні одне з співвідношень х1й / 1 (х 1) , х2Й / г (х2). Точка х належить слабкою кордоні Парето, якщо не існує допустимої точки х, такий що х1е / 1 (х1), хге / ^ хг), х1й / 1 (х1) і хгй ^ хг). Для того, щоб точку х можна було реалізувати як рівновага, необхідно (але в загальному випадку недостатньо), щоб існувала пряма, що проходить через цю точку, така що вона розділяє безлічі Zi (Xi) та / 2 (XX2). Нахил цієї прямої дорівнює відношенню цін. Сама ця пряма є загальним для обох споживачів бюджетним обмеженням. Розглянемо кілька прикладів моделі економіки обміну (або розподілу) на ящику Еджворта. У кожному з них побудуємо слабку і сильну кордону Парето і розглянемо взаємозв'язок між ними. Приклад 1. Обидва споживача цінують тільки перше благо: 1 січня U1 = .1 і U2 = .2 У цьому випадку будь-яка точка скриньки Еджворта належить слабкою і сильною кордоні Парето. Кожну з точок можна реалізувати як рівновага, при цьому р = 0. Приклад 2. Перший споживач цінує тільки перше благо, другий друге: WP тільки i2 ^ р У цьому випадку права і нижня сторони ящика Еджворта складають слабку кордон Парето, а правий нижній кут - сильну Парето-кордон. Сильну кордон Парето можна реалізувати як рівновага при будь-яких цінах. Приклад 3. Споживачі мають лінійні функції корисності з позитивними коефіцієнтами: Приклад 4. Споживачі мають функції корисності U1 = In * 1 A ln.1 і U2 = .2 A .2. .2 1 до 2 . | * - TV V. * \ - - \ \ \ Х. *** + ~ X / 1 (.1) - - Р | Xi > f 2 Х2 XеР = ^ Р Приклад 5. Перший споживач має функцію корисності з "товстої" кривої байдужості 12 .1.1 <2 2 < хо:? <3 12 .1.1 ^ 3 u1: 12 .1.1 - 1 и U2 = .2 A 12 .1 .1 Дана ситуація являє собою контрприклад до 1-й теоремі добробуту і показує важливість умови локальної ненасищаемості. Точки в заштрихованої області правого малюнка можна реалізувати як рівновага, але вони не є Парето-оптимальними. Приклад 6. Перший споживач насичуємо U = - (xi - 1) 2 - (xl - 1) 2 и і = 2 х2 A х2. Приклад 7. Споживачі мають функції корисності і = xi A y] xi и і = Х2. Ця економіка являє собою контрприклад до 2-ї теоремі добробуту, коли оптимум Парето НЕ внутрішній. Правий нижній кут ящика Еджворта (X) являє собою оптимум Парето, але не може бути реалізований як рівновага ні при яких цінах. Розділяє гіперплоскость існує: = 0, але при цінах _Р1 = 0 і _р2> 0 набір Х1 не є вирішенням завдання 1-го споживача, так як корисність не обмежена зверху. Приклад 8. Контрприклад до 2-ї теоремі добробуту. 1-й споживач має неопуклі переваги і Парето-оптимальну точку X не можна реалізувати як рівновага - не існує прямої, яка б разделя-. |
||
« Попередня | Наступна » | |
|
||
|
||
Інформація, релевантна "1.2.Основние положення економіки добробуту" |
||
|