Головна |
« Попередня | Наступна » | |
2.4.1 Завдання |
||
У наступних декількох. Задачах не передбачається, що переваги є неокласичними (див. пояснення в тексті параграфа). ^ 25. Аліна Олександрівна Алексашенко запропонувала наступне визначення функції корисності: «Будемо називати u (-): X ^ R функцією корисності, відповідної перевагам (У, у,, якщо для всякої пари альтернатив x, y? X співвідношення x У y виконано тоді і тільки тоді , коли u (x)> u (y) ». Чи буде воно еквівалентно визначенням, наведеним у тексті? Відповідь аргументуйте. ^ 26. Нехай допустима безліч альтернатив складається з 4 альтернатив X = {a , b, c, d}. На цій множині задано наступне нестроге відношення переваги: у = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, d), (b, d), (d, c), (b, a), (a, c), (b, c)}. Чи можливо побудувати функцію корисності, що представляє дані уподобання? Якщо ні, то чому? Якщо так, то побудуйте її. Таблиця 2.1. r ^ J У r ^ j У У r ^ jar ^ J b У r ^ j У У c У r ^ jr ^ J d У r ^ J r ^ J c a b c a d b ^ 27. Для кожної з частин Таблиці 2.1 розгляньте зображені уподобання, припускаючи, що у = У U ~. Дайте відповідь на питання попередньої задачі. ^ 28. Нехай X складається з n-мірних векторів з невід'ємними компонентами, а нестроге відношення переваги задано наступним чином: x у y, якщо всі компоненти вектора x не менш відповідних компонент вектора y. Чи існує функція корисності, що представляє ці переваги? ^ 29. Розгляньте переваги, задані на R + +: (xi, x2) у (yi, y2) ^ (xi - x2) (yi - y2) Z 0; (xi, x2) у (yi, y2) ^ f Z f; (xi, x2) у (yi, y2) ^ xix2 Z yiy2; (xi, x2) у (yi, y2) ^ min {xi + x2, yi + y2} Z 0; (xi, x2) у (yi, y2) ^ min {xi, x2} - min {yi, y2} Z 0; Які з них представимо функцією корисності? Спробуйте записати таку функцію корисності в явному вигляді. ^ 30. Покажіть, що суперпозиція зростаючої функції і функції корисності, що представляє деякі переваги, також є функцією корисності, що представляє ці уподобання. Наведіть приклад, що показує, що вимога зростання не може бути ослаблена до неубиванія. ^ 31. Які з нижченаведених функцій можуть підходять як перетворення, про який йдеться в попередній задачі, якщо область значень вихідної функції корисності - R +? (a) f (x) = x2; (b) f (x) = x3 + x; (c) f (x) = ^; (d) f (x) = ex. ^ 32. Доведіть, що якщо u (-) і u (-) - дві функції корисності, що представляють одні й ті ж переваги, то існує зростаюча функція f (|), така що u (-) є суперпозицією u (-) і f (|). ^ 33. Для яких з нижченаведених множин X можна стверджувати, що довільні неокласичні переваги (не обов'язково безперервні), задані на множині X можуть бути представлені деякою функцією корисності? X = {x? Rn | xi - цілі числа}; X = {x? Rn | 0 X = R +; X = {x? Rn | xi - ірраціональні числа}; X = {x? Rn | xi = a \ / 2 + b \ / 3, де a і b - будь-які раціональні числа}. ^ 34. Покажіть, що якщо неокласичні переваги задані на кінцевій множині альтернатив, то в цій множині існує як найменша (найгірша), так і найбільша (найкраща) альтернатива. (Цей факт був використаний в доказі Теореми 7.) ^ 35. В Теоремі 7 доведіть, розглянувши всі можливі випадки, що побудована функція є функцією корисності. ^ 36. Доведіть, що якщо безліч кривих байдужості для деяких неокласичних переваг лічильно, то існує функція корисності, що представляє ці переваги. ^ 37. Нехай X = Xi х X2, де Xi = {1, 2, ...}, а X2 - безліч всіх раціональних чисел між 0 і 1. Нехай на парах з X введено лексикографическое впорядкування. Доведіть, що існує функція корисності, що відповідає цьому впорядкування. Запишіть її явну формулу. якщо xi + x2 ^ 1, інакше . Покажіть, що ця функція не є безперервною. Чи немає тут протиріччя з безперервністю переваг? Чи можливо на підставі цих же переваг побудувати безперервну функцію? Якщо так, то побудуйте її, якщо ні, то поясніть, чому побудова неможливо. ^ 39. Продемонструйте , що лексикографічні переваги на R + не є безперервними, побудувавши конкретні послідовності наборів {xn}, {yn}, які б суперечили Визначенню 8. ^ 40. Покажіть, що якщо функція корисності u (x) неперервна, то переваги, що породили цю функцію корисності, також є безперервними. ^ 41. Закінчите доказ Теореми 8, показавши, що для побудованих околиць Vx і Vy, справедливо, що для будь-яких x '? VX П X і y '? Vy П X виконано x' У y '. ^ 42. Нехай на опуклій множині X задані безперервні уподобання, і нехай для наборів x, y? X виконано x У y. Доведіть, що знайдеться набір z? X , такий що x У z У y. ^ 43. Покажіть, що функція корисності монотонна тоді і тільки тоді, коли монотонні надані нею переваги. |
||
« Попередня | Наступна » | |
|
||
|
||
Інформація, релевантна" 2.4.1 Завдання " |
||
|