За аналогією з Завданням 3 розглянемо наступну задачу Задача 4. Wr ^ min r r е V (у). Позначимо безліч цін факторів, на якому існує рішення Завдання 4 при обсязі випуску у, через W (у). Визначення 41: Функція витрат c (w, у) - це значення цільової функції Завдання 4; для кожного вектора випуску у і вектора цін факторів w е W (у) вона вказує мінімальну величину витрат, при яких відповідно з даною технологією можна провести у.
Рис. 4.12. Побудова функції витрат Якщо технологічне безліч задано виробничою функцією y ^ f (r), то Завдання 4 прийме вигляд: wr ^ min r y Функція витрат має такі властивості. Теорема 57 ((Властивості функції витрат c (w, y) опуклою технології)): Функція витрат c (w, y) позитивно однорідна першого ступеня за цінами факторів: c (Aw, y) = Ac (w, y) Vy, Vw GW (y); монотонна за цінами факторів і випуску при????; увігнута за цінами на будь-якому опуклому підмножині множини W (у); неперервна за цінами на нутрощі безлічі W (y), int W (y). J Доказ: Доказ властивостей (1), (3) і (4) аналогічно приводиться раніше і залишається читачеві як вправа. Доведемо тільки монотонність функції витрат. W 'Z = w ^ c (w', y)> c (w, y) Vw, w 'GW (y). Нехай r> 0 - оптимальні витрати при цінах факторів w і випуску y, тобто wr = c (w, y). З w 'Z = w, випливає, що c (w, y) = wr Надалі нам знадобиться також поняття функції умовного попиту. Визначення 42:
Функція умовного попиту на фактори виробництва r (w, y) є оптимальне рішення Завдання 4 при випуску y і цінах факторів w. Зауважимо, що функція витрат і функція умовного попиту на фактори виробництва визначені для будь-якого непорожньої замкнутого технологічного безлічі Y. Теорема 58 ((Властивості функції умовного попиту на фактори)): Функція умовного попиту на фактори виробництва r (w, y) однорідна нульової ступеня як функція цін факторів виробництва w. Якщо безліч V (у) строго опукло, то r (w, y) - однозначна безперервна функція w. J Доказ: Доказ цього твердження аналогічно приводиться раніше і залишається читачеві як вправа. | Якщо, крім того, функція витрат дифференцируема, то вірна наступна лема Шепарда, що зв'язує витрати й функцію умовного попиту на фактори. Теорема 59: Нехай функція витрат дифференцируема за цінами факторів при обсязі виробництва у. Тоді для всіх w е int W (у) виконано dc (w, у) о = ri (w, у) dwi або Vw c (w, у) = r (w, у). J Доказ: Зафіксуємо ціни факторів на рівні w е int W (у). Введемо функцію на W (у): Y (w) = c (w, у) - wr (w, у). За визначенням функції витрат і функції умовного попиту Y (W) досягає максимуму, рівного нулю, в точці w: Y (w) ^ 0 і Y (w) = 0. Якщо функція витрат дифференцируема за цінами факторів, то функція Y (') теж дифференцируема. Оскільки точка w внутрішня в W (у), то за умовою першого порядку максимуму градієнт її має дорівнювати нулю:
VY (w) = Vw c (w, у) - r (w, у) = 0. | Як було зазначено вище, використання функції витрат дозволяє розглядати максимізацію прибутку як двоетапну процедуру. На першому етапі за даною технологією і відповідному безлічі необхідних витрат будується функція витрат. На другому етапі вирішується завдання вибору обсягу виробництва, максимізує прибуток, яка в цьому випадку розраховується як різниця між виручкою і витратами: ру - c (w, у) ^ min. YeYo Тут через р. ми позначили ціни продукції, а через Yo - ті обсяги виробництва, які допустимі при цьому технологічному безлічі (існують витрати, які разом з у становлять допустиму технологію): Yo = {у | 3r: (-r, у) е Y}. Це один з варіантів запису завдання виробника. Якщо функція витрат дифференцируема, і рішення розглянутої задачі, у, є внутрішнім (тобто у е int Yo), то воно характеризується наступною умовою першого порядку: dc (w, у) о = Pk yk, dyk або, у векторній записи, Vyc (w, У) = P. Таким чином, оптимальний випуск характеризується тим, що граничні витрати дорівнюють ціні. На основі рішення розглянутої задачі можна побудувати функцію (відображення) пропозиції. Вона вказує оптимальний обсяг випуску y як функцію цін продукції p і цін факторів w. Зазвичай функції витрат використовують в моделях приватного рівноваги (моделях квазілінійних економік).
|
- 5.6. Нелінійні приватні моделі
5.61, Неподільність грає свою роль в незліченній безлічі місць в господарстві будь-якої країни. На окремому заводі кожен верстат є прикладом неподільності; можна знайти такі ж приклади всюди, аж до действи тельно гігантських проектів, які іноді мають бути частиною процесу розвитку. Для економіста, що займається макропланірованія, звичайно не представляється можли вим вникнути в усі деталі
- 6.3. Нелінійні функції витрат
6.31.Только що описана модель може бути в далечінь нейшем пристосована до дійсності шляхом введення для секторів, де це має значення, нелінійних функцій витрат. Як. уже зазначалося, сільське господарство і доби вающая промисловість можуть характеризуватися возра стающую граничними витратами, і ця обставина може бути досить просто враховано, як це видно з параграфа 5.4. Говорячи
- 6.4. Інші функції попиту
Ще одним наближенням до дійсності моделі, розглянутої в параграфі 6.2, є введення інших функцій попиту. У моделі параграфа 6.2 передбачалося, що ціна в кожному секторі є функцією від валового продукту у відповідному секторі: ph = ЯЛ (t /). Це рівняння попиту, яке, однак, могло б також бути інтерпретувати вано як функція витрат, грунтується на припущенні, що
- 4.1. ЕФЕКТ МАСШТАБУ І МІЖНАРОДНА ТОРГІВЛЯ
Ефект масштабу є наслідок зростаючої віддачі мас сового виробництва, коли приріст випуску продукції обганяє приріст зроблених витрат. Внаслідок цього у міру повели чення обсягів випуску середні витрати на одиницю продукції скорочуються, виникає економія на витратах, значить, можли ність формування різних цін у різних виробників (у виробників з різними масштабами
- Контрольні завдання Питання на повторення
1.В чому спільні риси та відмінності монополістичної конкуренції та олігополії? 2. Які фактори полегшують створення картелю, а які сприяють його розвалу? 3. Які позиції моделі з ламаною кривою попиту зазнали критики? 4. У чому основний недолік моделей Курно, Бертрана і Штакельберга? 5. У чому подібність проблеми змови і дилеми ув'язненого? 6. Чи задовольняє рівновагу в моделі
- Запитання для повторення
Що таке фірма? Наведіть приклади фірм. Чи можна назвати частнопрактикующего юриста фірмою? Чим можна пояснити надзвичайне різноманіття форм і розмірів фірм? Чому одні фірми ростуть швидко, а інші повільно? Чому все суспільство не перетворюється на одну величезну фірму? Перерахуйте основні типи ділових підприємств . У чому їхні переваги й недоліки? Як ви думаєте, в якій мірі мета фірми
- Екологічний облік в транснаціональних корпораціях
Концепція екологічної звітності підприємств з'явилася відносно недавно. Перші екологічні звіти опубліковані в 1990 р. Через два роки Конфедерація ООН з навколишнього середовища і розвитку (КООНОСР) в «Порядку денному на XXI століття» прийняла звернення до компаніям і підприємствам «щорічно звітувати про результати природоохоронної діяльності, а також про використання енергії та природних ресурсів ».
- 2.Аінаміческіе гри з досконалою інформацією
Багато ситуації, які включають взаємодію індивідуумів, є за своїм змістом динамічними. Люди взаємодіють один з одним у часі і діють , реагуючи на ті рішення, які раніше прийняли інші. Іншими словами, приймаючи рішення, кожен гравець має в своєму розпорядженні певною інформацією про рішення, прийняті іншими гравцями, що передбачає черговість прийняття рішень (ходів).
- квазілінійного економіка і частное рівновагу
У цьому розділі ми розглянемо теоретичну підставу моделей приватного рівноваги, тобто таких моделей, в яких розглядається рівновага на ринку одного товару в припущенні, що ціни всіх інших товарів залишаються фіксованими-Як відомо, попит і пропозиція кожного блага в моделях загальної рівноваги залежать, загалом кажучи, від цін всіх розглянутих благ. Така залежність не дозволяє
- 3. Характеристика поведінки виробників у квазілінійних економіках
Нагадаємо , що в розглянутому випадку технологію кожного виробника представляє функція витрат. Якщо технологічне безліч опукло, то функція витрат є опуклою. У цьому параграфі ми наведемо постановки завдання споживача при різних припущеннях про тип конкуренції з яким стикається виробник. Припустимо, що j-й виробник стикається з функцією зворотного
- ОСОБЛИВОСТІ ВИВЧЕННЯ СІМ'Ї ТА ДОМОГОСПОДАРСТВ
В результаті вивчення глави 5 студент повинен: знати визначення сім'ї і домогосподарства та їх типологію; функції сім'ї та домогосподарства; основні напрямки досліджень; вміти складати угруповання сімей і домогосподарств; вибирати типології і класифікації в залежності від цілей дослідження;
|