Головна |
« Попередня | Наступна » | |
Характеризація кордону Парето через задачу максимізації зваженої суми корисностей |
||
Щоб знаходити межу Парето, зручно користуватися допоміжної завданням. Зіставимо кожному з споживачів число ai ^ 0, таке що? ^ I ai = 1, і розглянемо наступну задачу максимізації зваженої суми корисностей на безлічі допустимих станів економіки: Завдання пошуку оптимуму Парето EaiUi (xi) ^ max x, y iei (x, y)? E. (Pa) Тут (x, y) GE означає, що (x, y) - допустиме стан економіки E. Щоб показати зв'язок цього завдання з Парето-кордоном, введемо також допоміжне поняття слабкої Парето-кордону. Визначення 50: Допустиме стан економіки (x, y) є строгим Парето-поліпшенням для допустимого стану (x, y) або, іншими словами, строго домінує його по Парето, якщо для кожного споживача i GI виконано xi>-i xi. Допустиме стан економіки (x, y) належить слабкою кордоні Парето, WP, якщо не існує іншого допустимого стану, який строго домінує його по Парето. Очевидно, що за визначенням звичайна (сильна) кордон Парето P завжди міститься в слабкій кордоні Парето WP, тобто P З WP. Теорема 65: Якщо (x, y) - рішення задачі (Pa), то (x, y) належить слабкою кордоні Парето, а якщо, крім того , од > 0 Vi GI, то (x, y) належить (сильної) кордоні Парето. Нехай безлічі Xi випуклі, функції корисності Ui (-) безупинні і увігнуті, технологічні безлічі Yj-випуклі. Тоді якщо (x, y) належить слабкою кордоні Парето, то знайдуться такі невід'ємні од (? Ie / ® i = 1), що (x, y) є рішенням задачі (Pа). J Доказ: (1) Припустимо, що існує рішення задачі (Pa), (x, y), яке не належить слабкою кордоні Парето. Тоді знайдеться таке допустиме стан (x, y), що Ui (xi)> Ui (xi) Vi G I. При цьому значення цільової функції задачі (Pa) буде більше в точці x, ніж у точці x, а це суперечить тому, що (x, y) - рішення задачі (Pа). Доказ для випадку позитивних коефіцієнтів і звичайної (сильної) межі Парето повністю аналогічно. (2) Нехай (x, y) належить слабкою кордоні Парето. Введемо позначення u (x) = (ui (xi), ..., Un (xn)) і розглянемо наступне безліч: U-= {v G RN | 3 (x, y) GE: v Безліч U-непорожньо, так як u (x) G U-. Покажемо, що U-- опукле безліч. Нехай v 'G U-і v "G U-. Це означає, що існують допустимі стану економіки, (x', y ') і (x'', y''), такі що v' ^ u (x ') і v'' ^ u (x''). Опукла комбінація цих станів, є допустимим станом економіки. Так як Ui (-) - увігнуті функції, то u (ex '+ (1 - e) x'') Z eu (x ') + (1 - e) u (x''). Це означає, що ev' + (1 - в) v '' ^ u (ex '+ (1 - e) x''), тобто опукла комбінація точок з U-теж належить U-: ev' + (1 - в) v'' G U-, при в G [0,1]. Безліч u (x) + R + + = {v G RN | Vi> Ui (xi) Vi GI} також є непустою і опуклим. Оскільки (x, y) належить слабкою кордоні Парето, то розглянуті множини не мають спільних точок: U-П (U (X) + R + +) = 0, інакше ми знайшли б допустиме стан економіки, в якому кожен споживач мав би більшу корисність, ніж в (x, y). За теоремою отделимости існує розділяє ці дві множини гіперплоскость, тобто існують вектор a? RN, a = 0 і число b, такі що av ^ b при v? U- і av ^ b при v? u (x) + R + +. Покажемо, що a ^ 0. Припустимо, що існує споживач i, для якого ai <0. Тоді якщо v? u (x) + R + +, то v + tei? u (x) + R + +, де t - позитивне число, ei - i-й орт. Ми завжди можемо підібрати досить велика t, щоб виконувалася a (v + tei) Розглянемо послідовність vN = u (x) + 1 / N | 1, де 1 - вектор, що складається з одиниць. Оскільки vN? u (x) + R + + VN, то avN ^ b. Переходячи до межі, отримаємо au (x) ^ b. З іншого боку, u (x)? U-і au (x) ^ b. Отже, au (x) = b. Рис. 5.4. Таким чином, ми довели існування гіперплощини в RN, з коефіцієнтами a 0, яка проходить через u (x) і розділяє безлічі U-і u (x) + R + + (див. Рис. 5.4). Візьмемо як коефіцієнтів ai нормовані коефіцієнти ai: ai ai = Eje J aj Не існує допустимого стану (x, y), такого що Eaiui (xi)> ^ aiUi (xi). iei iei Дійсно, для такого стану виконано u (x)? U-, звідки au (x) ^ au (x). Розділивши цю нерівність на ^ ai, отримаємо au (x) ^ au (x). Це означає, що (x, y) є рішенням задачі (Pа). | З цієї теореми випливає, що безліч рішень задачі (Pа) при невід'ємних коефіцієнтах збігається зі слабкою кордоном Парето і, отже, містить в собі кордон Парето. З іншого боку, безліч рішень задачі (Pa) при позитивних коефіцієнтах міститься в кордоні Парето. Іншими словами, це завдання дозволяє отримати для кордону Парето оцінки зверху і знизу. Крім того, якщо сильна і слабка кордону Паре-то збігаються, то задача (Pа) повністю характеризує кордон Парето. Наступна теорема пропонує можливі умови, при яких такий збіг має місце. (1) Якщо у кожного споживача Xi = R +, переваги строго монотонні і неперервні, то сильна межа Парето збігається зі слабкою: P = WP. (2) Якщо переваги кожного споживача полустрого монотонні і неперервні, то всі крапки сильної кордону Парето, компоненти яких строго позитивні, також належать і слабкою кордоні Парето. J Доказ: (1) Оскільки P З WP, то достатньо довести лише, що WP З P. Нехай це не так, тобто існує допустимий стан (x, y), що належить слабкою кордоні Парето, але не сильною. Оскільки (x, y) не належить кордоні Парето, то існує інше допустиме стан (x, y), таке що xi ^ i xi Vi? I і 3io? I: xi0>-i0 xi0. З суворої монотонності випливає, що xi0 0, тому xi0 не може бути нульовим вектором. Отже , споживач io споживає хоча б одне благо k в позитивному кількості: Xi0k> 0. Нехай ek - k-й орт (вектор, де на k-му місці стоїть 1, а на інших місцях - 0). Розглянемо послідовність перерозподілів (N = 1, 2, ...) xi0 (N) = xi0 - Nek, xi (N) = xi + N (N-) ek Vi = io. По властивості суворої монотонності, маємо ^ i (N)>-i xi (N) Vi = io VN. Крім того, для споживача io знайдеться достатньо великий номер N, такий що набір xxi0 (X) допустимо і (по властивості безперервності переваг) xxi0 (X)>-i0 xi0. Таким чином, ми знайшли допустиме розподіл (xxi0 (X), y) яке суворо домінує допустиме розподіл (x, y), чого бути не може , так (x, y) належить слабкою кордоні Парето. (2) Доказ другої частини теореми залишається як вправа. |
||
« Попередня | Наступна » | |
|
||
|
||
Інформація, релевантна" Характеризація кордону Парето через задачу максимізації зваженої суми корисностей " |
||
|