Головна
Соціологія || Фінанси || Економіка || Юриспруденція
Аудит / Інституційна економіка / Інформаційні технології в економіці / Історія економіки / Логістика / Макроекономіка / Міжнародна економіка / Мікроекономіка / Світова економіка / Операційний аналіз / Оптимізація / Страхування / Управлінський облік / Економіка / Економіка та управління народним господарством (по галузях) / Економічна теорія / Економічний аналіз
ГоловнаЕкономікаМікроекономіка → 
« Попередня Наступна »
Бусигін В.П, Желободько О.В, Циплаков А.А.. Мікроекономіка. Третій рівень, 2005 - перейти до змісту підручника

Характеризація кордону Парето через задачу максимізації зваженої суми корисностей


Щоб знаходити межу Парето, зручно користуватися допоміжної завданням. Зіставимо кожному з споживачів число ai ^ 0, таке що? ^ I ai = 1, і розглянемо наступну задачу максимізації зваженої суми корисностей на безлічі допустимих станів економіки:
Завдання пошуку оптимуму Парето
EaiUi (xi) ^ max
x, y
iei
(x, y)? E. (Pa)
Тут (x, y) GE означає, що (x, y) - допустиме стан економіки E. Щоб показати зв'язок цього завдання з Парето-кордоном, введемо також допоміжне поняття слабкої Парето-кордону.
Визначення 50:
Допустиме стан економіки (x, y) є строгим Парето-поліпшенням для допустимого стану (x, y) або, іншими словами, строго домінує його по Парето, якщо для кожного споживача i GI виконано xi>-i xi.
Допустиме стан економіки (x, y) належить слабкою кордоні Парето, WP, якщо не існує іншого допустимого стану, який строго домінує його по Парето.
Очевидно, що за визначенням звичайна (сильна) кордон Парето P завжди міститься в слабкій кордоні Парето WP, тобто P З WP.
Теорема 65:
Якщо (x, y) - рішення задачі (Pa), то (x, y) належить слабкою кордоні Парето, а якщо, крім того , од > 0 Vi GI, то (x, y) належить (сильної) кордоні Парето.
Нехай безлічі Xi випуклі, функції корисності Ui (-) безупинні і увігнуті, технологічні безлічі Yj-випуклі. Тоді якщо (x, y) належить слабкою кордоні Парето, то знайдуться такі невід'ємні од (? Ie / ® i = 1), що (x, y) є рішенням задачі (Pа). J
Доказ: (1) Припустимо, що існує рішення задачі (Pa), (x, y), яке не належить слабкою кордоні Парето. Тоді знайдеться таке допустиме стан (x, y), що Ui (xi)> Ui (xi) Vi G I. При цьому значення цільової функції задачі (Pa) буде більше в точці x, ніж у точці x, а це суперечить тому, що (x, y) - рішення задачі (Pа). Доказ для випадку позитивних коефіцієнтів і звичайної (сильної) межі Парето повністю аналогічно.
(2) Нехай (x, y) належить слабкою кордоні Парето. Введемо позначення
u (x) = (ui (xi), ..., Un (xn))
і розглянемо наступне безліч:
U-= {v G RN | 3 (x, y) GE: v Безліч U-непорожньо, так як u (x) G U-. Покажемо, що U-- опукле безліч. Нехай v 'G U-і v "G U-. Це означає, що існують допустимі стану економіки, (x', y ') і (x'', y''), такі що v' ^ u (x ') і v'' ^ u (x''). Опукла комбінація цих станів,
(ex '+ (1 - e) x'', ey' + (1 - в) y''), де в G [0,1],
є допустимим станом економіки. Так як Ui (-) - увігнуті функції, то
u (ex '+ (1 - e) x'') Z eu (x ') + (1 - e) u (x'').
Це означає, що ev' + (1 - в) v '' ^ u (ex '+ (1 - e) x''), тобто опукла комбінація точок з U-теж належить U-:
ev' + (1 - в) v'' G U-, при в G [0,1].
Безліч u (x) + R + + = {v G RN | Vi> Ui (xi) Vi GI} також є непустою і опуклим.
Оскільки (x, y) належить слабкою кордоні Парето, то розглянуті множини не мають спільних точок:
U-П (U (X) + R + +) = 0,
інакше ми знайшли б допустиме стан економіки, в якому кожен споживач мав би більшу корисність, ніж в (x, y). За теоремою отделимости існує розділяє ці дві множини гіперплоскость, тобто існують вектор a? RN, a = 0 і число b, такі що
av ^ b при v? U-
і av
^ b при v? u (x) + R + +. Покажемо, що a ^ 0. Припустимо, що існує споживач i, для якого ai <0. Тоді якщо v? u (x) + R + +, то v + tei? u (x) + R + +, де t - позитивне число, ei - i-й орт. Ми завжди можемо підібрати досить велика t, щоб виконувалася a (v + tei) Розглянемо послідовність vN = u (x) + 1 / N | 1, де 1 - вектор, що складається з одиниць. Оскільки vN? u (x) + R + + VN, то avN ^ b. Переходячи до межі, отримаємо au (x) ^ b. З іншого боку, u (x)? U-і au (x) ^ b. Отже, au (x) = b.
Рис. 5.4.
Таким чином, ми довели існування гіперплощини в RN, з коефіцієнтами a 0, яка проходить через u (x) і розділяє безлічі U-і u (x) + R + + (див. Рис. 5.4). Візьмемо як коефіцієнтів ai нормовані коефіцієнти ai:
ai
ai =
Eje J aj
Не існує допустимого стану (x, y), такого що
Eaiui (xi)> ^ aiUi (xi). iei iei
Дійсно, для такого стану виконано u (x)? U-, звідки au (x) ^ au (x). Розділивши цю нерівність на ^ ai, отримаємо au (x) ^ au (x). Це означає, що (x, y) є рішенням задачі (Pа). |
З цієї теореми випливає, що безліч рішень задачі (Pа) при невід'ємних коефіцієнтах збігається зі слабкою кордоном Парето і, отже, містить в собі кордон Парето. З іншого боку, безліч рішень задачі (Pa) при позитивних коефіцієнтах міститься в кордоні Парето. Іншими словами, це завдання дозволяє отримати для кордону Парето оцінки зверху і знизу. Крім того, якщо сильна і слабка кордону Паре-то збігаються, то задача (Pа) повністю характеризує кордон Парето. Наступна теорема пропонує можливі умови, при яких такий збіг має місце.
Теорема 66:
(1) Якщо у кожного споживача Xi = R +, переваги строго монотонні і неперервні, то сильна межа Парето збігається зі слабкою: P = WP.
(2) Якщо переваги кожного споживача полустрого монотонні і неперервні, то всі крапки сильної кордону Парето, компоненти яких строго позитивні, також належать і слабкою кордоні Парето. J
Доказ: (1) Оскільки P З WP, то достатньо довести лише, що WP З P. Нехай це не так, тобто існує допустимий стан (x, y), що належить слабкою кордоні Парето, але не сильною.
Оскільки (x, y) не належить кордоні Парето, то існує інше допустиме стан (x, y), таке що xi ^ i xi Vi? I і 3io? I: xi0>-i0 xi0.
З суворої монотонності випливає, що xi0 0, тому xi0 не може бути нульовим вектором. Отже , споживач io споживає хоча б одне благо k в позитивному кількості: Xi0k> 0. Нехай ek - k-й орт (вектор, де на k-му місці стоїть 1, а на інших місцях - 0). Розглянемо послідовність перерозподілів (N = 1, 2, ...)
xi0 (N) = xi0 - Nek, xi (N) = xi + N (N-) ek Vi = io.
По властивості суворої монотонності, маємо ^ i (N)>-i xi (N) Vi = io VN. Крім того, для споживача io знайдеться достатньо великий номер N, такий що набір xxi0 (X) допустимо і (по властивості безперервності переваг) xxi0 (X)>-i0 xi0.
Таким чином, ми знайшли допустиме розподіл (xxi0 (X), y) яке суворо домінує допустиме розподіл (x, y), чого бути не може , так (x, y) належить слабкою кордоні Парето.
(2) Доказ другої частини теореми залишається як вправа.
« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна" Характеризація кордону Парето через задачу максимізації зваженої суми корисностей "
  1. СЛОВНИК-ДОВІДНИК
    Абсолютна перевага - можливість підприємства виробляти кожну одиницю товару з меншими витратами (обсягами залучених факторів виробництва) порівняно з іншими підприємствами. Абстрактний об'єкт - ідеалізований образ, абстрагіруемие від несуттєвих властивостей досліджуваного реального об'єкта у відповідності з метою і завданнями дослідження. Агент (від лат. agens ^ еп ^) - діючий) -
  2. ГЛОСАРІЙ
    автаркії (від грец. autarkeia - самозадоволення) - політика економічного відокремлення, що проводиться країною, регіоном. Автаркія спрямована на створення замкнутої, незалежної економіки, здатної забезпечити себе всім необхідним самостійно. Автаркія те саме натуральному господарству. АЛЬТЕРНАТИВНА ВАРТІСТЬ - вартість виробництва товару або послуги, яка вимірюється з точки зору втраченої
  3. 3.10. "Симетрична модель" замкнутої економіки
    1. Дана модель, хоча і розглядається на прикладі ринкової економіки, але вона відображає функціонування замкнутої економічної системи взагалі, будь то натуральна , ринкова чи регульована економіка і на будь-якому рівні, починаючи з економіки індивіда, і кінчаючи світовою економікою. Бо вона відображає систему взаємозв'язків і параметри відносин не між суб'єктами, а між економічними функціями,
  4. Глосарій
    Аграрна політика - доцільна діяльність государ-ства, спрямована на створення і постійне підтримання сприятливого середовища для сталого розвитку АПК. з метою забезпечення національної продовольчої безпеки, нормальної життєдіяльності сільського населення та збе нения біосистеми аграрної сфери. Аграрний ринок - відносини між покупцями і продавши-цями в сфері обміну по
  5. ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК
    А Агенти економічні 17,71, 123, 237 Агрегирование переваг 401 агрегування товарної продукції 102 Аксіоми опуклості 136 , 139, 142 виявлених переваг 161 ненасиченими 135, 142 безперервності 135, 141-142 повної впорядкованості 135 порядкового підходу 134 переваг 139, 161 рефлективності 135, 142 порівнянності 135 порівняльне 142 транзитивності 135, 142 Акт добровільний 76
  6. 5.1. Виробництво з одним змінним фактором. Закон спадної граничної продуктивності
    ", Як ми вже відзначали в гл. 2, під Виробництво і фактори виробництвом в сучасній виробництва мікроекономіки розуміється де ятельность з використання факторів виробництва (ресурсів) з метою досягнення найкращого результату. Якщо обсяг використання ресурсів відомий, то максимизируется результат, якщо відомий результат (якого необхідно досягти), то мінімізується обсяг ресурсів.
  7. 11.4. Загальна рівновага і економіка добробуту
    Теорія загальної рівноваги має широку область застосування. Вона використовується для аналізу ефективності або неефективності економіки, наприклад втрат від недосконалої конкуренції. Однак найбільш важливу роль вона відіграє у визначенні наукових основ політики в галузі економіки добробуту. "Існують різні критерії оцінки ді-критерії оцінки намики добробуту З одним із них - кри-
  8. Запитання для повторення
    У чому різниця між невизначеністю і ризиком? Чи є ймовірність будь-якого майбутнього події вимірюваної? Чому в реальному житті економічний агент не може скористатися частотним підходом до оцінки ймовірності? У чому причина поділу понять об'єктивної і суб'єктивної ймовірностей? Наведіть приклади споживчого вибору не на користь грошового виграшу. Охарактеризуйте поведінку
  9. 2.2 РІШЕННЯ
    рішення задачі № 1 З графіка видно, що з ростом доходу від нуля до деякого рівня обсяг споживання товару зростає, так що благо є нормальним; при подальшому зростанні доходу даний товар витісняється деяким замінником, обсяг його споживання знижується і товар стає нижчим. q / / у / / / 0 20 травня Знайдемо межі області зростання обсягу споживання; для цього
  10. Словник
    Загальна теорія статистики: статистична методологія до вивчення комерційної діяльності: Підручник / А.І. Харламов, О.Е. Башина, В.Т. Бабурін та ін; Під. ред. А.А. Спіріна, О.Е. Башиной. - М.: Фінанси і статистика, 1996. Погостінський М.М., Погостінський Ю.А. Системний аналіз фінансової звітності. -С.-П.: Изд. Михайлова В.А., 1999. Практикум з фінансового менеджменту: навчально-ділові ситуації,
  11. Побіжне знайомство з інформацією: перепрограмування мозку
    Наслідки інтернет-споживання інформації не можна назвати однозначно невигідними. Деякі когнітивні здібності піддаються розвитку при використанні комп'ютера та Інтернету. Найчастіше це більш примітивні функції розуму - координація очей і рук, рефлекторні реакції і обробка зорових стимулів.
© 2014-2022  elbib.in.ua