Головна
Соціологія || Фінанси || Економіка || Юриспруденція
Аудит / Інституційна економіка / Інформаційні технології в економіці / Історія економіки / Логістика / Макроекономіка / Міжнародна економіка / Мікроекономіка / Світова економіка / Операційний аналіз / Оптимізація / Страхування / Управлінський облік / Економіка / Економіка та управління народним господарством (по галузях) / Економічна теорія / Економічний аналіз
ГоловнаЕкономікаЕкономіка → 
« Попередня Наступна »
С. Л. Печерський, А. А. Бєляєва. Теорія ігор для економістів, 2001 - перейти до змісту підручника

Доповнення. Існування і єдиність вектора Шеплі


Ми доведемо тут без особливих подробиць існування і єдиність значення Шеплі (більш докладно див, наприклад, Воробйов, 1995).
Знайдемо спочатку вектор Шеплі для характеристичної функції виду CVR, де з > 0, a VR - найпростіша характеристична функція, тобто функція виду VR (S) = |
1, якщо SDR,
О, в іншому випадку Легко бачити, що число різних найпростіших характеристичних функцій на I одно 2п - 1, тобто числу непорожніх коаліцій. Наступні дві пропозиції ми наведемо без доказів.
Пропозиція 6.5.1. Всі 2п - 1 найпростіших характеристичних функцій на I лінійно незалежні.
Пропозиція 6.5.2. Для будь характеристичної функції v має місце єдине подання
Rcl
ScR
де
Іншими словами , це пропозиція стверджує, що кожну характеристическую функцію на J можна уявити, і притому єдиним чином, у вигляді лінійної комбінації найпростіших характеристичних функцій.
Теорема 6.5.1. Якщо vr - найпростіша характеристична функція, то
{шт якщо г? R,,
= {W. '5.1
(0, якщо г f R.
Доказ. Безліч R є для cvr носієм. Тому по аксіомі ефективності:
^ Ф, - (сг; д) = сг; д (Д) = с. (5.2)
ieR
Ясно також, що перестановка будь-яких двох гравців з R не змінює значення характеристичної функції CVR | Тому по аксіомі симетрії зліва в (5.2) всі складові рівні ОДИН ОДНОМУ) і ми отримуємо верхній рядок (5.1). Нарешті, всі гравці, що не входять в R, є в CVR бовдурами, і це дає нам нижній рядок (5.1).
Слідство 6.5.1. Для найпростішої характеристичної функції vr і з > 0 Ф (сид) = СФ (ід).
Доказ випливає безпосередньо з (5.1).
З аксіоми лінійності і останнього слідства випливає, що за будь-яких сд ^ 0 повинно бути
Ф (^ СДГ; д) = ^ Ф (СДГ; д) = СДФ (ід). (5.3)
rrr
Поширимо цю формулу на випадок коефіцієнтів сд з довільними знаками. Лемма 6.5.1. Якщо v 'і v "- характеристичні функції, а їх різниця v' - v" також є характеристичною функцією, то
$ (v'-v ") = Ф (г /)-Ф (і "). (5.4)
Доказ. За умовою ми маємо тотожне v '= v "+ (г / - v"). Праворуч тут стоїть сума двох характеристичних функцій, і по аксіомі лінійності ми маємо
ф (і ') = Ф (і ") + Ф (і'-і"),
звідки і слід (5.4).
Слідство 6.5.2. Формула (5.3) залишається справедливою, якщо знаки коефіцієнтів cr довільні, а сума ^ 2rCrvr є характеристичною функцією.
Доказ. Маємо
v = cRvR = ^ 2 CRVR ~ X] (~ CR) VR-
RRR
CR> ° СД < °
Тут у другій сумі всі числа - cr є позитивними, так що віднімається сума виявляється характеристичної функцією. Тому по лемі 6.5.1
Ф (і) = Ф (^ 2 CRVR) ~ ф ((~ cR) vR) =
RR
cR> 0 cR <0
= Y CR ® (VR) - ("ся) фи = ^ СДФ (г ;).
RRR
cR> 0 cR <0
Теорема 6.5.2. Кожна характеристична функція має не більше одного вектора Шеплі.
Доказ . Те, що кожна найпростіша характеристична функція має не більше одного вектора Шеплі, випливає з теореми 6.5.1. Але в силу пропозиції 6.5.2 довільна характеристична функція подана в вигляді лінійної комбінації найпростіших єдиним способом. Тому із доведеного вище випливає, що кожна характеристична функція має не більше одного вектора Шеплі.
Нам залишається довести існування вектора Шеплі для будь характеристичної функції.
Теорема 6.5.3. Для будь характеристичної функції v на I = {1, ..., га} компоненти вектора Шеплі визначаються формулою
ieR'ci
Доказ. Перевіримо спочатку, що вектор Ф (і) з компонентами з (5.5) задовольняє всім аксіомам Шеплі.
Доведемо ефективність вектора Ф (і). Для цього розглянемо
Е < ВД = Е Е (n "| g | y ' "1)! Kg)-t; (g \")) - (5.6)
iei iei ieR'ci
У всій подвійний сумі вираз v (K) зустрічається в ролі зменшуваного \ К \ раз (по числу входять до До елементів) і тим самим набуває коефіцієнт
. Ап-\ К \) 1 (\ К \ - 1)! (п- \ К \) - \ К \ \
\ к \ j = j>
га! га!
який при \ К \ = га, тобто при К = I, очевидно, дорівнює одиниці. В ролі ж від'ємника воно зустрінеться га - \ К \ раз (по числу не входять в До елементів) і тим самим набуває коефіцієнт
, ST-YM-1 ^ 1 - (га - \ К \) 1 \ К \ 1
- (п-\ К) -!-Ц --- L = - Ц1 ^-L, якщо пф \ к \,
га! га! і коефіцієнт 0, якщо п = \ К \.
Таким чином, права частина (5.6) дорівнює v (I):
J2Mv) = V (I) 1 (5.7)
iei
і вектор Ф (і) виявляється ефективним.
Перевірка аксіоми бовдура тривіальна. Нехай у грі v гравець i є бовдуром. Тоді для будь-якої коаліції К С I
v (K) - v (K \ i) = О,
а отже, кожний доданок в (5.5) для цього i дорівнює 0. Тому
= 0.
Перевіримо тепер аксіому симетричності. Нехай тг - перестановка I така, що V (TTK) = v (K) для будь-якої коаліції К. Тоді разом з К коаліція тг К також пробігає всі підмножини I, і ми можемо (5.5) переписати як
ж ^ V-(п ~ КК |)! (| ТГК | - 1)! ...
ФТГ .-І = ^ Т - (v (ttR) - V (TTK \ 7ГГ)).
З іншого боку, оскільки v (irK) = v (K) і \ ТГК \ = \ К \, то 7гг і 7ГК під знаком підсумовування можна назад перейменувати відповідно в г і К. Остаточно ми маємо
Фт-(") =? i * - \ mm-i) iiviK) _ v {KV)) = ф. (і) _
Kcl
Аксіома лінійності випливає з того, що компоненти вектора Ф (і) залежать від значень характеристичної функції v лінійно .
Таким чином, вектор Ф (і) дійсно є для характеристичної функції v вектором Шеплі, існування якого тим самим доведено.
« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна" Доповнення. Існування і єдиність вектора Шеплі "
  1. 2.4 Представлення переваг функцією корисності
    У цьому параграфі ми розглянемо умови, при виконанні яких можна отримати числовий індикатор корисності - функцію корисності - з деякими наперед заданими властивостями. Під функцією корисності споживача традиційно розуміється деяка веще-ственнозначная функція, впорядковує альтернативи з безлічі допустимих альтернатив X таким же чином, як і предпочтенія17. Функція
  2. 5.3 Існування загальної рівноваги
    Одним з найбільш важливих питань, що вивчаються при розгляді моделей загальної рівноваги, є питання про те, чи існує в даній економіці рівновага (рівноваги). Адже якщо рівновага не існує, то аналіз його стає безглуздим. У цьому параграфі ми викладемо один зі стандартних способів докази існування рівноваги, роблячи упор на економіках обміну. Альтернативні способи
  3. 7.1 Представлення переваг лінійною функцією корисності
    Як вже сказано вище, ми будемо виходити з того, що у приймаючого рішення індивідуума є деякі переваги У, на безлічі випадкових споживчих наборів. Як звичайно, будемо при цьому припускати, що переваги є неокласичними (зокрема, ставлення У негативно транзитивно і асиметрично): (A1 ') На A х XX задані неокласичні уподобання У,. Як відомо, якщо
  4. 3.3 Світові гроші
    Різноманітні економічні зв'язки між країнами породжують грошові платежі і надходження. Гроші, застосовувані в міжнародних розрахунках, прийнято називати світовими грошима. Роль світових грошей не є окремою функцією грошей. У міжнародних економічних відносинах гроші з деяким відставанням у часі повторюють той шлях еволюції, який вони проходять в національній економіці - це
  5. Глава Ринок цінних паперів
    Ринок цінних паперів (РЦБ), або фондовий ринок є складовою частиною фінансового ринку. Фондовий ринок з'являється і розвивається разом з появою і розвитком цінних паперів, які стають товаром в якості джерела доходу. Першим товаром, який став об'єктом торгівлі на фондовому ринку, були комерційні векселя, що тут виступають, в першу чергу, як джерело доходу. Діяльність
  6. * (№)
    * (1) В країнах системи континентального (цивільного) права розподіл права на приватне і публічне є фундаментальним і визначає в тому числі організацію судової системи (див., наприклад: Aubert J.-L. Introduction au droit et themes fondamentaux du droit civil. 9-е ed. P., 2002. P. 33, 45). Проте в Росії всі цивільні суди є одночасно судами та приватного, і публічного права.
  7. 7.2. ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ І РОЗВИТОК ЛОГІСТИКИ В ДІЯЛЬНОСТІ ЗАРУБІЖНИХ ПІДПРИЄМСТВ
    Маркетингові інформаційні системи складаються з людей, устаткування і багатосторонніх прийомів, використовуваних для збору, класифікації, аналізу, оцінки, поширення та зберігання актуальною, своєчасної і точної інформації для прийняття рішень в області маркетингової політики компаній1. Інформаційні технології, електронна комерція широко застосовуються в маркетинговій політиці зарубіжних
  8. Соціально-психологічні методи державного управління
    Поряд з адміністративно-розпорядчими методами і методами економічного стимулювання в управлінні економікою використовується третя група методів управління, що отримали в науковій та навчальній літературі назву соціально-психологічних, так як вони спираються на соціальну психологію людей, їх суспільну мораль і психологічну схильність до певних типів поведінки, на
  9. 17.4. ДЕРЖАВНЕ ПЕРЕРОЗПОДІЛ ДОХОДІВ. СИСТЕМА СОЦІАЛЬНОГО ЗАХИСТУ
    Один з ринку виявляється в тому, що ринок не гарантує право на працю, на дохід, на освіту, не забезпечує соціальний захист інвалідів, малозабезпечених, пенсіонерів та деяких інших категорій громадян. У зв'язку з цим виникає необхідність втручання держави в сферу розподілу доходів і формування відповідної системи соціального забезпечення нужденних. Вище було
  10. 8.3. Управління персоналом
    Система управління персоналом, її роль і цілі Домогтися відданості справі організації від сотень і тисяч чоло-вік, змусити їх направляти свої знання та енергію на досягнення цілей компанії - дуже складне завдання. Мета підприємства за самою своєю природою носить стратегиче ський характер - це збільшення прибутку і розширення виробниц ства. Водночас цілі працівників, як правило, швидше тактичних ські
  11. Управління соціальною організацією
    Соціальна організація здійснює свою діяльність і зберігає свою життєздатність завдяки управлінню. Управління соціальною організацією являє собою процес цілеспрямованого впливу на всі структурні елементи організації з метою досягнення спільної мети. Процес управління реалізовується завдяки
© 2014-2022  elbib.in.ua