Головна |
« Попередня | Наступна » | |
2.3. Досконале під-ігрове рівновагу Неша |
||
Розглянемо ситуацію, яка у нас вже була з входом в ринок. Але тепер модифікуємо її злегка, вважаючи (див. Mas-Colell, Whinston, Green), що тепер після входу обидві фірми можуть вибирати, воювати чи ні (прийняти) (мал. 9). Рис. 9. Нормальна форма гри з одночасними ходами (після входу Е) є (рис.10): I Війна Ні (-3 , -1) (1, -2) воїна немає (-2, -1) (3,1) Рис. 10. Е У ній рівновагу Неша - це (НІ, НІ). Неважко перевірити, що у вихідній грі є 3 рівноваги Неша в чистих стратегіях (ае,) '| ((ні; прийняти якщо вхід), (війна, якщо Е входить)); ((немає; війна, якщо вхід), (війна, якщо Е входить)); ((вхід; прийняти якщо вхід), (прийняти, якщо Е входить)). Перші дві стратегії для Е не здаються дуже розумними, але стратегії - це, за визначенням, повний план. Зауважимо, що (прийняти, прийняти) - єдине Р.Н. у грі з одночасними ходами. Тому природно очікувати, що обидві фірми зіграють «прийняти», слідуючи за входом Е. Але якщо це так, то фірма Е повинна входити. Тому логіка послідовної раціональності каже, що тільки останнє рівновагу має бути розумним пророкуванням. Отже, перейдемо до формальних визначень. Визначення 2.3.1. Під-грою ігри Г ^; в позиційній формі називається таке поддерево дерева вихідної гри, що: його початкова вершина - одноточечное інформаційне безліч і воно містить всі наступні (безпосередньо і далі) за нею вершини і тільки їх; якщо вершина х лежить в під-грі, то всі вершини х '? Н (х) теж лежать у цій під-грі, де Н (х) - інформаційне безліч, що містить х. На рис. 11 дві під-ігри - сама гра і гра з одночасними ходами. Обведена пунктиром частина дерева не є під-грою. Зауважимо, що в грі з досконалою інформацією кожна вершина (крім термінальної) ініціює йод-гру. Легко бачити, що відповідно до визначення стратегій в позиційній грі будь-яка стратегія гравця в позиційній грі індукує його стратегію в під-грі. Ця стратегія є звуженням вихідної стратегії на інформаційні безлічі гравця, що опиняються в під-грі. Визначення 2.3.2. Ситуація (набір стратегій) а = (<7i, ..., ап) у грі в позиційній формі Г ^; називається досконалим (під-ігровим) рівновагою Неша, якщо вона індукує рівновагу Неша в кожній під-грі. Далі ми скорочено писати СПРН замість «досконале під-ігрове рівновагу Неша». Ясно, що СПРН є Р.Н., але не кожне Р.Н. є СПРН. У кінцевих іграх з досконалою інформацією безліч СПРН збігається з безліччю Р.Н., які можуть бути отримані за допомогою зворотного індукції. Пропозиція 2.3.1. У будь-якої кінцевої грі з досконалою інформацією Г ^; існує СПРН в чистих стратегіях. Якщо всі виграші всіх гравців різні в будь-яких двох термінальних вершинах, то він єдиний. Для визначення множини СПРН в загальній (кінцевої) динамічної грі Г ^ процедура зворотного індукції може бути узагальнена таким чином: Починаємо з кінця дерева гри і визначаємо рівноваги Неша для кожної з «кінцевих» під-ігор, тобто під-ігор, які не мають власних під-ігор. Вибираємо одне з рівноваг Неша в кожній з цих «кінцевих» під-ігор і розглядаємо редуцированную гру, в якій ці «кінцеві» під-ігри замінюються виграшами, що виходять в цих під-іграх, коли гравці використовують ці рівноважні стратегії. Повторюємо кроки 1 і 2 для скорочених ігор. Продовжуємо цю процедуру до тих пір, поки не будуть визначені всі ходи в грі Г ^;. Набір ходів в кожному з інформаційних множин ігри Г ^; утворює СПРН. Якщо ні на одному з кроків процесу не виникала мно-жественное рівноваг Неша, то отримане СПРН єдино. Якщо ж множинність рівноваг мала місце, то безліч всіх СПРН виходить за допомогою повторення цієї процедури для кожного можливого рівноваги, що виникає в розглянутих йод-іграх. Пропозиція 2.3.2. Розглянемо гру в позиційній формі Г ^ і деяку її під-гру S. Припустимо, що набір as стратегій є СПРН в під-грі S і нехай Г ^; - редукована гра, утворена заміною S термінальній вершиною з виграшами, рівними виграшами, що виникають при грі as. Тоді в будь-якому СПРН а ігри Г ^;, в якій as - це набір стратегій, які граються в під-грі S, ходи гравців в інформаційних множинах поза S повинні утворювати СПРН ігри Г ^;; якщо а - СПРН в Ye, то набір а, що приписує ходи відповідно до as в інформаційних множинах з S і ходи відповідно до а в інформаційних множинах поза S, є СПРН в Г ^;. Розглянемо модифікацію нашого прикладу. Припустимо, що є дві частини ринку, дві ніші - мала ніша (м.н.) і велика ніша (б.н.) (див. рис. 12). Рис. 12. Щоб знайти СПРН, розглянемо спочатку «пост-вхідну» під-гру. Тут два рівноваги Неша в чистих стратегіях (б.н., м.н.) і (м.н., б.н.). У будь-якому СПРН в цій йод-грі повинно индуцироваться одне з цих рівноваг Неша. Припустимо спочатку, що фірми грають (б.н., м.н.), а отже, редукувати гра буде мати вигляд, зображений на рис. 13. У цьому випадку Е вибирає входити, отже, СПРН - це (е, і /) = ((вхід, б.н.), (м.н., якщо Е увійшла)). У другому випадку зредукована гра представлена на рис. 14: Е не вх вх. 1 -1 Рис. 13. -1 1 Е Рис. 14. Отже, СПРН (пекло, ст /) = ((Не вх., М.н.), (б.з., якщо Е увійшла). Зрозуміло, як завжди, не все так просто і з СПРН. Розглянемо наступну гру (Rabin, 1988) (рис.15). Рис. 15. У «координаційної грі» з одночасними ходами між 1 і 3 гравцями три рівноваги Неша: два в чистих стратегіях, що призводять до виграшів (7,10,7), і рівновагу в сме- шанних стратегіях, що дає виграші (3.5, 5, 3.5). Якщо ми вибираємо рівновагу, в якому гравці 1 і 3 успішно координуються, то гравець 2 грає L, а гравець 1 - R, очікуючи виграш 7. Якщо ж ми вибираємо неефективне рівновагу в змішаних стратегіях, то гравець 2 зіграє R, а 1 - знову L, очікуючи виграш 8. Тому у всіх СПРН гравець 1 грає R. Але, ... проте гравцеві 1 буде осмислено зіграти L, якщо він не побачив можливості координації на 3 - м кроці, а тому чекає виграш 3 ^, але побоюється того, що гравець 2 може вірити, що при грі на 3-му кроці буде досягнуто ефективне рівновагу. Суть тут у тому, що «йод -ігрове досконалість »передбачає не тільки, що гравці очікують Р.Н. у всіх під-іграх, але також і що всі гравці очікують одне і те ж рівновагу. « Попередня |
||
Наступна » | = Перейти до змісту підручника = | |
|
||
|
||
2.6. Завдання |
||
|