Головна
Соціологія || Фінанси || Економіка || Юриспруденція
Аудит / Інституційна економіка / Інформаційні технології в економіці / Історія економіки / Логістика / Макроекономіка / Міжнародна економіка / Мікроекономіка / Світова економіка / Операційний аналіз / Оптимізація / Страхування / Управлінський облік / Економіка / Економіка та управління народним господарством (по галузях) / Економічна теорія / Економічний аналіз
ГоловнаЕкономікаЕкономіка → 
« Попередня Наступна »
С. Л. Печерський, А. А. Бєляєва. Теорія ігор для економістів, 2001 - перейти до змісту підручника

2.3. Досконале під-ігрове рівновагу Неша


Розглянемо ситуацію, яка у нас вже була з входом в ринок. Але тепер модифікуємо її злегка, вважаючи (див. Mas-Colell, Whinston, Green), що тепер після входу обидві фірми можуть вибирати, воювати чи ні (прийняти) (мал. 9).
Рис. 9.
Нормальна форма гри з одночасними ходами (після входу Е) є (рис.10):
I
Війна Ні
(-3 , -1) (1, -2)
воїна
немає
(-2, -1) (3,1)
Рис. 10.
Е
У ній рівновагу Неша - це (НІ, НІ). Неважко перевірити, що у вихідній грі є 3 рівноваги Неша в чистих стратегіях (ае,) '|
((ні; прийняти якщо вхід), (війна, якщо Е входить)); ((немає; війна, якщо вхід), (війна, якщо Е входить)); ((вхід; прийняти якщо вхід), (прийняти, якщо Е входить)). Перші дві стратегії для Е не здаються дуже розумними, але стратегії - це, за визначенням, повний план.
Зауважимо, що (прийняти, прийняти) - єдине Р.Н. у грі з одночасними ходами. Тому природно очікувати, що обидві фірми зіграють «прийняти», слідуючи за входом Е. Але якщо це так, то фірма Е повинна входити. Тому логіка послідовної раціональності каже, що тільки останнє рівновагу має бути розумним пророкуванням. Отже, перейдемо до формальних визначень.
Визначення 2.3.1. Під-грою ігри Г ^; в позиційній формі називається таке поддерево дерева вихідної гри, що:
його початкова вершина - одноточечное інформаційне безліч і воно містить всі наступні (безпосередньо і далі) за нею вершини і тільки їх;
якщо вершина х лежить в під-грі, то всі вершини х '? Н (х) теж лежать у цій під-грі, де Н (х) - інформаційне безліч, що містить х.
На рис. 11 дві під-ігри - сама гра і гра з одночасними ходами. Обведена пунктиром частина дерева не є під-грою.
Зауважимо, що в грі з досконалою інформацією кожна вершина (крім термінальної) ініціює йод-гру.
Легко бачити, що відповідно до визначення стратегій в позиційній грі будь-яка стратегія гравця в позиційній грі індукує його стратегію в під-грі. Ця стратегія
є звуженням вихідної стратегії на інформаційні безлічі гравця, що опиняються в під-грі.
Визначення 2.3.2. Ситуація (набір стратегій) а = (<7i, ..., ап) у грі в позиційній формі Г ^; називається досконалим (під-ігровим) рівновагою Неша, якщо вона індукує рівновагу Неша в кожній під-грі.
Неважко помітити, що в наведеному прикладі перші два набору стратегій не є СПРН, оскільки не індукують Р.Н. в пост-вхідний грі.
Далі ми скорочено писати СПРН замість «досконале під-ігрове рівновагу Неша». Ясно, що СПРН є Р.Н., але не кожне Р.Н. є СПРН.
У кінцевих іграх з досконалою інформацією безліч СПРН збігається з безліччю Р.Н., які можуть бути отримані за допомогою зворотного індукції.
Пропозиція 2.3.1. У будь-якої кінцевої грі з досконалою інформацією Г ^; існує СПРН в чистих стратегіях.
Якщо всі виграші всіх гравців різні в будь-яких двох термінальних вершинах, то він єдиний.
Для визначення множини СПРН в загальній (кінцевої) динамічної грі Г ^ процедура зворотного індукції може бути узагальнена таким чином:
Починаємо з кінця дерева гри і визначаємо рівноваги Неша для кожної з «кінцевих» під-ігор, тобто під-ігор, які не мають власних під-ігор.
Вибираємо одне з рівноваг Неша в кожній з цих «кінцевих» під-ігор і розглядаємо редуцированную гру, в якій ці «кінцеві» під-ігри замінюються виграшами, що виходять в цих під-іграх, коли гравці використовують ці рівноважні стратегії.
Повторюємо кроки 1 і 2 для скорочених ігор. Продовжуємо цю процедуру до тих пір, поки не будуть визначені всі ходи в грі Г ^;. Набір ходів в кожному з інформаційних множин ігри Г ^; утворює СПРН.
Якщо ні на одному з кроків процесу не виникала мно-жественное рівноваг Неша, то отримане СПРН єдино. Якщо ж множинність рівноваг мала місце, то безліч всіх СПРН виходить за допомогою повторення цієї процедури для кожного можливого рівноваги, що виникає в розглянутих йод-іграх.
Пропозиція 2.3.2. Розглянемо гру в позиційній формі Г ^ і деяку її під-гру S. Припустимо, що набір as стратегій є СПРН в під-грі S і нехай Г ^; - редукована гра, утворена заміною S термінальній вершиною з виграшами, рівними виграшами, що виникають при грі as. Тоді в будь-якому СПРН а ігри Г ^;, в якій as - це набір стратегій, які граються в під-грі S, ходи гравців в інформаційних множинах поза S повинні утворювати СПРН ігри Г ^;;
якщо а - СПРН в Ye, то набір а, що приписує ходи відповідно до as в інформаційних множинах з S і ходи відповідно до а в інформаційних множинах поза S, є СПРН в Г ^;.
Докази цих пропозицій можна знайти, наприклад, в підручнику Mas-Colell, Whinston, Green.
Розглянемо модифікацію нашого прикладу. Припустимо, що є дві частини ринку, дві ніші - мала ніша (м.н.) і велика ніша (б.н.) (див. рис. 12).
Рис. 12.
Щоб знайти СПРН, розглянемо спочатку «пост-вхідну» під-гру. Тут два рівноваги Неша в чистих стратегіях (б.н., м.н.) і (м.н., б.н.).
У будь-якому СПРН в цій йод-грі повинно индуцироваться одне з цих рівноваг Неша. Припустимо спочатку, що фірми грають (б.н., м.н.), а отже, редукувати гра буде мати вигляд, зображений на рис. 13. У цьому випадку Е вибирає входити, отже, СПРН - це (е, і /) = ((вхід, б.н.), (м.н., якщо Е увійшла)).
У другому випадку зредукована гра представлена на рис. 14: Е не вх
вх.
1 -1
Рис. 13.
-1 1
Е
Рис. 14. Отже, СПРН (пекло, ст /) = ((Не вх., М.н.), (б.з., якщо Е увійшла).
Зрозуміло, як завжди, не все так просто і з СПРН. Розглянемо наступну гру (Rabin, 1988) (рис.15).
Рис. 15.
У «координаційної грі» з одночасними ходами між 1 і 3 гравцями три рівноваги Неша: два в чистих стратегіях, що призводять до виграшів (7,10,7), і рівновагу в сме-
шанних стратегіях, що дає виграші (3.5, 5, 3.5). Якщо ми вибираємо рівновагу, в якому гравці 1 і 3 успішно координуються, то гравець 2 грає L, а гравець 1 - R, очікуючи виграш 7. Якщо ж ми вибираємо неефективне рівновагу в змішаних стратегіях, то гравець 2 зіграє R, а 1 - знову L, очікуючи виграш 8. Тому у всіх СПРН гравець 1 грає R.
Але, ... проте гравцеві 1 буде осмислено зіграти L, якщо він не побачив можливості координації на 3 - м кроці, а тому чекає виграш 3 ^, але побоюється того, що гравець 2 може вірити, що при грі на 3-му кроці буде досягнуто ефективне рівновагу.
Суть тут у тому, що «йод -ігрове досконалість »передбачає не тільки, що гравці очікують Р.Н. у всіх під-іграх, але також і що всі гравці очікують одне і те ж рівновагу.
« Попередня
Наступна » = Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна" 2.3. Досконале під-ігрове рівновагу Неша "
2.6. Завдання
  1. 1. Припустимо, що батько і дитина грають в наступну гру. Спочатку дитина вибирає дію А, яке приносить йому дохід 1С (А) і дохід для батька 1р (А) . Далі, батько спостерігає доходи / с і 1р і потім вибирає нагороду В для дитини. Функція виграшу дитини U (IC + B), батька-V (Ip - B) + kU (Ic + B), де до > 0 відбиває « батьківське участь в благополуччі дитини ». Припустимо, що дія
    4.1. Досконале Байесови рівновагу
  2. У цій главі наша мета - розгляд вчиненого Байе-сова рівноваги. Перш ніж звернутися безпосередньо до теми даної глави, зазначимо таке. Ми починали з рівноваги Неша, потім, у міру ускладнення розглянутих нами ігор, ми звернулися до скоєного під-ігровому рівноваги Неша, далі до рівноваги по Байеса-Нешу і, нарешті, до скоєного Байесови рівноваги в динамічних
    глосарій
  3. антиблаго (bad) - товар або продукт, що володіє негативною корисністю для споживача. Асиметрія інформації (information asymmetry) - ситуація, в кото рій одна сторона угоди володіє більшою інформацією, ніж інша. Безбілетник (free rider) - поняття, що використовується в економічному аналізі для позначення сторони, яка отримує вигоди від зусиль, що робляться іншою стороною, не сплачуючи
    Введення
  4. В останні три десятиліття спостерігається стрімке підвищення інтересу до теорії ігор і значне зростання її ролі. Багато в чому це пояснюється тим, що без неї нині вже немислима сучасна економічна теорія, причому область застосування теорії ігор постійно розширюється. Теорія ігр пройшла шлях від вельми формалізованої теорії, що представляла інтерес в першу чергу для
    2.5. Повторювані ігри
  5. Розглянемо наступний варіант «Дилеми Ув'язненого» (рис.20). Будемо вважати, що гра повторюється двічі, причому гравці дізнаються результат першого розіграшу до того, як починається друга. Вважаємо поки, що немає дисконту і, тому виграші є просто сума виграшів у першому і другому розігруванні, тобто ми маємо справу з двухперіодне або двокроковий «Дилемою Ув'язненого». L 2 R2 і ((1Д) (5,0) \
    4.4. Завдання
  6. 1. Для наступної гри вкажіть нормальну форму гри , все рівноваги Неша, скоєні під-ігрові і досконалі Байесови рівноваги (у чистих стратегіях): 2. Вкажіть об'єднуюче Байесови рівновагу, в якому обидва типи Sender'a грають г в наступній сигнальної грі: 3. Опишіть всі об'єднуючі і розділяють вчинені Байесови рівноваги (у чистих стратегіях) у такій сигнальної грі:
    1.2.1. Ситуація типу «дилеми ув'язнених»
  7. Два злочинця затримано за підозрою в пограбуванні банку. Однак проти них нехватает доказів. Вони можуть отримати невеликий термін - один рік за ті проступки, щодо кото яких проти них є докази (наприклад, за зберігання зброї). Завдання слідчого, який веде цю справу, - змусити злочинців зізнатися у скоєнні злочину. Слідчий розробив два альтернативних плану проведення
    1.2.2. Ситуація координації
  8. Прикладом інституту, що виникає в ситуації координа ції, служать правило руху на дорогах (правосторонній або лівосторонній). Це найпростіший інститут - конвенція, який скорочує невизначеність і координує дії людей. Таблиця 7 В Права Ліва А Права 1; 1 0; 0 Ліва 0; 0 1; 1 Якщо автомобілі рухаються по різних сторонах дороги, то для того щоб роз'їхатися, водіям потрібно
    8.1. Олігополія
  9. Досконала конкуренція і чиста монополія - крайні полюси спектра ринкових структур і як крайності зустрічаються відносно рідко. Набагато частіше спостерігаються монополістична конкуренція і олігополія. Монополістична конкуренція - тип ринкової структури , що наближається до досконалої конкуренції. Монополістична конкуренція - випадок, коли "багато конкуренції і мало мо-монополії",
    Рівновага Неша
  10. Крім ситуацій, розглянутих у попередньому розділі , бувають ситуації, які природно моделювати, виходячи з таких припущень: гравці при прийнятті рішень орієнтуються на передбачувані дії партнерів; очікування є рівноважними (збігаються з фактично вибраними партнерами діями). Якщо вважати, що всі гравці раціональні, так що кожен вибирає стратегію, що дає йому
    Кроме ситуаций, рассмотренных в предыдущем разделе, бывают ситуации, которые естественно моделировать, исходя из следующих предположений: игроки при принятии решений ориентируются на предполагаемые действия партнеров; ожидания являются равновесными (совпадают с фактически выбранными партнерами действиями). Если считать, что все игроки рациональны, так что каждый выбирает стратегию, дающую ему
  11. ІНТЕРНЕТ ЯК ФАКТОР ФОРМУВАННЯ ІНФОРМАЦІЙНОГО СУСПІЛЬСТВА
    В результаті освоєння матеріалів даної глави студент повинен: знати історію створення мережі Інтернет; політику Інтернету; основні поняття WWW: Йуеб-сторінка, Шеб-сервер, web-саит, URL-адреса; причину створення нового виду бібліотеки - електронної бібліотеки; основні соціальні мережі; вплив
© 2014-2022  elbib.in.ua